Use algum critério de comparação para concluir sobre a convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede que eu conclua sobre a convergência da série
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os termos da série são
para . - A série é infinita, somando esses termos para
de até . - Preciso usar algum critério de comparação (ou seja, comparar com outra série conhecida) para decidir se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro observo que os termos são não-negativos (isso facilita usar comparação direta). Explico por que: para todo
temos
e, como
, o valor
está no intervalo
. Logo
É importante ter termos não-negativos quando aplicamos o teste de comparação simples, porque esse teste exige comparar termos não-negativos.
Passo 3
Vou obter uma desigualdade útil que vale para todos os
:
. Prova curta e didática:
- Defina a função
para . - Calcule a derivada:
. Como para todo , temos . Ou seja, é uma função não decrescente. - Como
e não decresce, segue que para todo . Portanto , isto é,
(Essa é uma desigualdade clássica; outra justificativa geométrica também existe, mas a prova pela derivada é simples e direta.)
Passo 4
Aplicando a desigualdade do passo anterior com
obtemos, para todo
,
Agora uso uma série conhecida para comparar: a série
é convergente (é a p-série com
). Uma demonstração rápida disso é pelo teste da integral:
ou seja, a integral é finita, logo a p-série converge.
Passo 5
Finalmente aplico o teste de comparação direta: como para todo
temos
e
é convergente, então a série
converge também. Como os termos são não-negativos, essa é uma convergência absoluta (na prática, para termos não-negativos “convergência” e “convergência absoluta” coincidem).
Resposta
A série
converge (convergência absoluta), por comparação com a série
, que é convergente (
).