Use algum critério de comparação para concluir sobre a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{sen}\left(1 / n^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu conclua sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \sin\!\bigl(1/n^{2}\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os termos da série são a_n=\sin\!\bigl(1/n^{2}\bigr) para n=1,2,3,\dots.
  • A série é infinita, somando esses termos para n de 1 até +\infty.
  • Preciso usar algum critério de comparação (ou seja, comparar com outra série conhecida) para decidir se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro observo que os termos são não-negativos (isso facilita usar comparação direta). Explico por que: para todo n\ge1 temos 1/n^{2}>0 e, como 1/n^{2}\le 1<\pi, o valor \sin(1/n^{2}) está no intervalo (0,1). Logo
\sin\!\bigl(1/n^{2}\bigr)\ge 0\qquad\text{para todo }n\ge1.
É importante ter termos não-negativos quando aplicamos o teste de comparação simples, porque esse teste exige comparar termos não-negativos.

Passo 3

Vou obter uma desigualdade útil que vale para todos os x\ge 0: \sin x \le x. Prova curta e didática:
  • Defina a função h(x)=x-\sin x para x\ge 0.
  • Calcule a derivada: h'(x)=1-\cos x. Como \cos x\le 1 para todo x, temos h'(x)\ge 0. Ou seja, h é uma função não decrescente.
  • Como h(0)=0 e h não decresce, segue que h(x)\ge 0 para todo x\ge0. Portanto x-\sin x\ge0, isto é,
\sin x \le x\qquad\text{para todo }x\ge0.
(Essa é uma desigualdade clássica; outra justificativa geométrica também existe, mas a prova pela derivada é simples e direta.)

Passo 4

Aplicando a desigualdade do passo anterior com x=1/n^{2} obtemos, para todo n\ge1,
0\le \sin\!\bigl(1/n^{2}\bigr)\le \frac{1}{n^{2}}.
Agora uso uma série conhecida para comparar: a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é convergente (é a p-série com p=2>1). Uma demonstração rápida disso é pelo teste da integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} x^{-2}\,dx = \lim_{t\to\infty}\bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{t} = \lim_{t\to\infty}\bigl(1-\tfrac{1}{t}\bigr)=1,
ou seja, a integral é finita, logo a p-série converge.

Passo 5

Finalmente aplico o teste de comparação direta: como para todo n temos 0\le \sin(1/n^{2})\le 1/n^{2} e \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} é convergente, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(1/n^{2}\bigr)
converge também. Como os termos são não-negativos, essa é uma convergência absoluta (na prática, para termos não-negativos “convergência” e “convergência absoluta” coincidem).

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(1/n^{2}\bigr) converge (convergência absoluta), por comparação com a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2}, que é convergente ( p=2>1).

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