A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n^{5}+1}{n^{2}(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n^{5}+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{2 n^{5}+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
  • Preciso concluir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Vou usar o teste do termo geral (também chamado de teste da divergência). O teste diz: se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0
ou não existe, então a série \sum a_n diverge. Esse é o método mais direto aqui porque basta analisar o comportamento do termo geral quando n\to\infty. Explicando didaticamente: para que uma soma infinita tenha chance de convergir, os termos que somamos têm de ficar cada vez menores e tender a zero; se eles não tendem a zero, somá-los não pode produzir um número finito.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de a_n quando n\to\infty. Primeiro simplifico a forma do denominador:
n^{2}(n+1)^{2}=n^{2}\bigl(n^{2}+2n+1\bigr)=n^{4}+2n^{3}+n^{2}.
Logo
a_n=\frac{2 n^{5}+1}{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}.
Agora divido numerador e denominador por n^{4} para ver o comportamento dominante:
a_n=\frac{2 n+\dfrac{1}{n^{4}}}{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Quando n\to\infty temos \dfrac{1}{n^{4}}\to0, \dfrac{2}{n}\to0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to0. Assim o numerador se comporta como 2n (que tende a +\infty) e o denominador tende a 1. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2 n+\dfrac{1}{n^{4}}}{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}=+\infty.
Em termos intuitivos, a_n cresce como \sim 2n quando n é grande, ou seja, não só não tende a zero como diverge para +\infty.

Passo 4

Aplicando o teste do termo geral: como
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0\quad(\text{na verdade }=\;+\infty),
a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir. Raciocínio prático: somar termos que não vão a zero faz a soma parcial crescer sem controle, logo a série diverge.

Passo 5

Conclusão final: a série diverge por falha da condição necessária de convergência (termo geral não tende a zero).

Resposta

A série diverge.

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