A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Preciso concluir se a série converge ou diverge.
Passo 2
Vou usar o teste do termo geral (também chamado de teste da divergência). O teste diz: se
ou não existe, então a série
diverge. Esse é o método mais direto aqui porque basta analisar o comportamento do termo geral quando
. Explicando didaticamente: para que uma soma infinita tenha chance de convergir, os termos que somamos têm de ficar cada vez menores e tender a zero; se eles não tendem a zero, somá-los não pode produzir um número finito.
Passo 3
Vamos estudar o comportamento de
quando
. Primeiro simplifico a forma do denominador:
Logo
Agora divido numerador e denominador por
para ver o comportamento dominante:
Quando
temos
,
e
. Assim o numerador se comporta como
(que tende a
) e o denominador tende a
. Portanto
Em termos intuitivos,
cresce como
quando
é grande, ou seja, não só não tende a zero como diverge para
.
Passo 4
Aplicando o teste do termo geral: como
a série
não pode convergir. Raciocínio prático: somar termos que não vão a zero faz a soma parcial crescer sem controle, logo a série diverge.
Passo 5
Conclusão final: a série diverge por falha da condição necessária de convergência (termo geral não tende a zero).
Resposta
A série diverge.