Use o axioma do supremo para mostrar que toda sequência ( a_{n} ) de números reais que seja crescente e cotada superiormente é também convergente, ou seja, existe a \in \mathbb{R} tal que \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_{n}) de números reais com duas informações importantes:
  • A sequência é crescente (ou seja, não decrescente): para todo n\in\mathbb{N} vale a_{n}\le a_{n+1}.
  • A sequência é limitada superiormente: existe algum número real M tal que a_{n}\le M para todo n\in\mathbb{N}.
O que o enunciado pede: mostrar que existe a\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=a.
Ou seja, provar que a sequência converge e indicar qual é seu limite.

Passo 2

Construção natural: considere o conjunto dos termos da sequência
S=\{a_{n}: n\in\mathbb{N}\}.
Vou checar duas coisas sobre S para poder usar o axioma do supremo:
  • S é não-vazio, pois a sequência tem termos, então existe pelo menos um a_{1}\in S.
  • S é limitado superiormente, porque foi dado que existe M\in\mathbb{R} com a_{n}\le M para todo n, logo M é uma cota superior de S.
Pelo axioma do supremo (axioma do mínimo majorante): todo subconjunto não-vazio de \mathbb{R} que é limitado superiormente tem supremo. Portanto existe
a=\sup S.
Vou explicar o que isso significa, porque é a chave do argumento.

Passo 3

O que significa a=\sup S? Duas propriedades essenciais:
  1. a é uma cota superior de S: para todo s\in S vale s\le a.
  2. a é o menor dentre as cotas superiores: se b é outra cota superior de S então a\le b.
Uma formulação equivalente e muito útil (característica do supremo) é: para todo \epsilon>0 existe algum s\in S tal que
s>a-\epsilon.
Em palavras: não existe uma folga positiva \epsilon tal que a-\epsilon ainda seja uma cota superior; sempre se pode encontrar um elemento de S dentro da distância \epsilon abaixo de a.
Vou usar exatamente essa propriedade para mostrar convergência.

Passo 4

Prova do limite usando \epsilon- N:
Seja \epsilon>0 arbitrário. Pela propriedade do supremo, existe um índice N\in\mathbb{N} tal que
a_{N}>a-\epsilon,
porque a_{N}\in S e há pelo menos um elemento de S maior que a-\epsilon.
Agora uso que a sequência é crescente: para todo n\ge N temos
a_{n}\ge a_{N}.
Combinando isso com a_{N}>a-\epsilon obtemos, para n\ge N,
a_{n}>a-\epsilon.
Além disso, como a é uma cota superior de S, para todo n vale a_{n}\le a. Portanto, para n\ge N temos
a-\epsilon < a_{n} \le a.
Subtraindo a e tomando valor absoluto,
|a_{n}-a|<\epsilon\qquad\text{para todo }n\ge N.
Isso é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty} a_{n}=a: dado \epsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N tem-se |a_{n}-a|<\epsilon.

Passo 5

Comentário didático e intuição (para fixar): o argumento diz que os termos da sequência nunca ultrapassam a (porque a é cota superior), mas por ser o menor majorante eles chegam arbitrariamente perto de a (não existe folga fixa abaixo de a). Como a sequência é crescente, uma vez alcançado um termo dentro de \epsilon de a, todos os termos seguintes permanecem dentro dessa faixa. Isso garante a convergência.
Exemplo simples que ilustra: a sequência \left(1-\dfrac{1}{n}\right) é crescente e limitada superiormente por 1. O supremo do conjunto dos termos é 1 e a sequência converge para 1.

Resposta

Existe a=\sup\{a_{n}:n\in\mathbb{N}\}\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty} a_{n}=a.

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