Use o axioma do supremo para mostrar que toda sequência (
) de números reais que seja crescente e cotada superiormente é também convergente, ou seja, existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
de números reais com duas informações importantes:
- A sequência é crescente (ou seja, não decrescente): para todo
vale . - A sequência é limitada superiormente: existe algum número real
tal que para todo .
O que o enunciado pede: mostrar que existe
tal que
Ou seja, provar que a sequência converge e indicar qual é seu limite.
Passo 2
Construção natural: considere o conjunto dos termos da sequência
Vou checar duas coisas sobre
para poder usar o axioma do supremo:
-
é não-vazio, pois a sequência tem termos, então existe pelo menos um . -
é limitado superiormente, porque foi dado que existe com para todo , logo é uma cota superior de .
Pelo axioma do supremo (axioma do mínimo majorante): todo subconjunto não-vazio de
que é limitado superiormente tem supremo. Portanto existe
Vou explicar o que isso significa, porque é a chave do argumento.
Passo 3
O que significa
? Duas propriedades essenciais:
-
é uma cota superior de : para todo vale . -
é o menor dentre as cotas superiores: se é outra cota superior de então .
Uma formulação equivalente e muito útil (característica do supremo) é: para todo
existe algum
tal que
Em palavras: não existe uma folga positiva
tal que
ainda seja uma cota superior; sempre se pode encontrar um elemento de
dentro da distância
abaixo de
.
Vou usar exatamente essa propriedade para mostrar convergência.
Passo 4
Prova do limite usando
-
:
Seja
arbitrário. Pela propriedade do supremo, existe um índice
tal que
porque
e há pelo menos um elemento de
maior que
.
Agora uso que a sequência é crescente: para todo
temos
Combinando isso com
obtemos, para
,
Além disso, como
é uma cota superior de
, para todo
vale
. Portanto, para
temos
Subtraindo
e tomando valor absoluto,
Isso é exatamente a definição de
: dado
existe
tal que para todo
tem-se
.
Passo 5
Comentário didático e intuição (para fixar): o argumento diz que os termos da sequência nunca ultrapassam
(porque
é cota superior), mas por ser o menor majorante eles chegam arbitrariamente perto de
(não existe folga fixa abaixo de
). Como a sequência é crescente, uma vez alcançado um termo dentro de
de
, todos os termos seguintes permanecem dentro dessa faixa. Isso garante a convergência.
Exemplo simples que ilustra: a sequência
é crescente e limitada superiormente por
. O supremo do conjunto dos termos é
e a sequência converge para
.
Resposta
Existe
tal que