Mostre que a seguinte proposição é falsa:
“Para todo subconjunto \mathbb{X} \subset \mathbb{Q} cotado superiormente, existe um r \in \mathbb{Q} que é a menor de todas as cotas superiores de \mathbb{X}.”
(sugestão: construa um contra-exemplo para esta proposição, explicando/mostrando como ela falha neste contra-exemplo)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a proposição seguinte é falsa:
“Para todo subconjunto \mathbb{X}\subset\mathbb{Q} cotado superiormente, existe um r\in\mathbb{Q} que é a menor de todas as cotas superiores de \mathbb{X}.”
O pedido é construir um contra-exemplo: escolher um conjunto \mathbb{X}\subset\mathbb{Q} que seja cotado superiormente (ou seja, exista alguma cota superior em \mathbb{Q}) e mostrar que, apesar disso, não existe em \mathbb{Q} uma menor cota superior (isto é, nenhuma cota superior racional é a menor entre as cotas superiores racionais).
Informações relevantes que usarei:
  • Definição: u é cota superior de \mathbb{X} se para todo x\in\mathbb{X} vale x\le u.
  • Definição: r é a menor cota superior (cota superior mínima) de \mathbb{X} se r é cota superior e qualquer outra cota superior u satisfaz r\le u.
  • Vou construir \mathbb{X} dentro de \mathbb{Q} e provar que não existe menor cota superior em \mathbb{Q}.
  • Usarei duas propriedades-padrão: (i) \sqrt{2} é irracional; (ii) os racionais são densos nos reais (entre quaisquer a<b reais existe racional q com a<q<b) — quando usar essas propriedades eu explico/mostro-as brevemente.

Passo 2

Proponho o seguinte conjunto como contra-exemplo:
\mathbb{X}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q^{2}<2\}.
Vou verificar primeiro que \mathbb{X} satisfaz as hipóteses (é subconjunto de \mathbb{Q}, não vazio e cotado superiormente).
  • \mathbb{X}\subset\mathbb{Q} por construção.
  • \mathbb{X} é não vazio: por exemplo 0\in\mathbb{X} e 1\in\mathbb{X} porque 0^{2}=0<2 e 1^{2}=1<2.
  • \mathbb{X} é cotado superiormente (em \mathbb{Q} e em \mathbb{R}): por exemplo 2 é uma cota superior porque para todo q\in\mathbb{X} temos |q|<2 e, em particular, q\le 2. Mais simplesmente, se q\in\mathbb{X} então q^{2}<2 força |q|<\sqrt{2}<2, logo q\le 2. Assim há pelo menos uma cota superior racional (por exemplo 2), então \mathbb{X} é cotado superiormente em \mathbb{Q}.
Portanto \mathbb{X} satisfaz a hipótese do enunciado.

Passo 3

Intuição: em \mathbb{R} o supremo de \mathbb{X} é \sqrt{2}. Mas como \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}, não podemos tomar esse supremo dentro de \mathbb{Q}. Vou provar duas coisas úteis (uma sobre \sqrt{2} e outra sobre densidade dos racionais) que serão usadas na contradição.
Primeiro, prova rápida de que \sqrt{2} é irracional (clássica):
  • Suponha, por contradição, que \sqrt{2}=\dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\ne0, e que a fração está na forma irredutível (ou seja, p e q primos entre si).
  • Então 2=\dfrac{p^{2}}{q^{2}}, ou p^{2}=2q^{2}. Daí p^{2} é par, logo p é par; escreva p=2k.
  • Substituindo, (2k)^{2}=4k^{2}=2q^{2} implica q^{2}=2k^{2}, então q^{2} é par e q é par.
  • Assim p e q têm um fator comum 2, contradizendo que a fração estava irredutível. Logo \sqrt{2} não é racional.
Segundo, um lembrete (com prova curta) da densidade dos racionais: entre quaisquer reais a<b existe racional r com a<r<b. Prova curta usando o princípio de Arquimedes:
  • Escolha n\in\mathbb{N} tal que n(b-a)>1 (isso é possível pela propriedade arquimediana).
  • Os números na e nb satisfazem nb-na=n(b-a)>1, então existe um inteiro m com na<m<nb.
  • Então a<\dfrac{m}{n}<b e \dfrac{m}{n}\in\mathbb{Q}. Logo existe racional entre a e b.
Vou usar essa densidade para localizar racionais entre \sqrt{2} e qualquer racional maior que \sqrt{2}.

Passo 4

Agora sigo a estratégia de contradição: suponha, para contradizer a afirmação que queremos derrubar, que \mathbb{X} tem uma menor cota superior em \mathbb{Q}. Ou seja, existe r\in\mathbb{Q} tal que
  • para todo x\in\mathbb{X} vale x\le r (ou seja, r é cota superior), e
  • para toda cota superior u\in\mathbb{Q} tem-se r\le u (ou seja, r é a menor cota superior racional).
Vou obter uma contradição a partir disso.
Observações imediatas:
  • r não pode satisfazer r<\sqrt{2}. Porque se r<\sqrt{2} então r^{2}<2 (note que r pode ser negativo, mas o interessante é o caso r<\sqrt{2} com r positivo; de qualquer modo, se r<\sqrt{2} então existe racional q tal que r<q<\sqrt{2} pela densidade; esse q satisfaz q^{2}<2 e portanto q\in\mathbb{X}, logo r não seria cota superior). Portanto qualquer cota superior real deve ser \ge\sqrt{2}; em particular, r\ge\sqrt{2}.
  • r não pode ser igual a \sqrt{2} porque \sqrt{2} não é racional (mostrei isso no Passo 3). Como r\in\mathbb{Q}, então necessariamente r>\sqrt{2}.
Portanto temos r>\sqrt{2}.

Passo 5

Como r>\sqrt{2} e os racionais são densos nos reais, existe um racional s tal que
\sqrt{2}<s<r.
(Pela prova de densidade no Passo 3, basta aplicar o argumento com a=\sqrt{2} e b=r.)
Agora vou mostrar que esse s também é uma cota superior de \mathbb{X}, e isso contradiz a minimalidade de r porque s<r.
Mostro que s é cota superior de \mathbb{X}. Tome arbitrário x\in\mathbb{X}. Se por absurdo x>s, então como x e s são reais positivos (pelo formato do conjunto os elementos maiores relevantes são positivos) teria x^{2}>s^{2}. Mas s>\sqrt{2} implica s^{2}>2, então x^{2}>s^{2}>2, o que contradiz x\in\mathbb{X} (pois para x\in\mathbb{X} vale x^{2}<2). Portanto não pode ocorrer x>s; isto é, para todo x\in\mathbb{X} temos x\le s. Logo s é cota superior de \mathbb{X}.
Resumindo: s\in\mathbb{Q} é cota superior de \mathbb{X} e satisfa z \sqrt{2}<s<r. Em particular s<r, então r não é a menor cota superior racional, contradizendo a suposição da existência de tal r.

Passo 6

Dessa contradição concluímos que a suposição "existe r\in\mathbb{Q} que é a menor cota superior de \mathbb{X}" é falsa para o conjunto \mathbb{X}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q^{2}<2\}. Assim \mathbb{X} é um contra-exemplo que mostra que a proposição original é falsa: existe subconjunto de \mathbb{Q} cotado superiormente que não possui menor cota superior em \mathbb{Q}.
Um comentário final, para fixar a intuição: em \mathbb{R} o supremo de \mathbb{X} é \sqrt{2}, mas \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}, e entre \sqrt{2} e qualquer racional maior sempre existe outro racional; por isso não há um “menor” entre as cotas superiores racionais — sempre se pode encontrar uma cota racional menor, mas ainda maior que \sqrt{2}.

Resposta

Falsa. Contra-exemplo: \mathbb{X}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q^{2}<2\}; \mathbb{X} é cotado superiormente em \mathbb{Q} mas não possui menor cota superior em \mathbb{Q}.

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