Mostre que a seguinte proposição é falsa:
“Para todo subconjunto
cotado superiormente, existe um
que é a menor de todas as cotas superiores de
.”
(sugestão: construa um contra-exemplo para esta proposição, explicando/mostrando como ela falha neste contra-exemplo)
“Para todo subconjunto
(sugestão: construa um contra-exemplo para esta proposição, explicando/mostrando como ela falha neste contra-exemplo)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a proposição seguinte é falsa:
“Para todo subconjunto
cotado superiormente, existe um
que é a menor de todas as cotas superiores de
.”
O pedido é construir um contra-exemplo: escolher um conjunto
que seja cotado superiormente (ou seja, exista alguma cota superior em
) e mostrar que, apesar disso, não existe em
uma menor cota superior (isto é, nenhuma cota superior racional é a menor entre as cotas superiores racionais).
Informações relevantes que usarei:
- Definição:
é cota superior de se para todo vale . - Definição:
é a menor cota superior (cota superior mínima) de se é cota superior e qualquer outra cota superior satisfaz . - Vou construir
dentro de e provar que não existe menor cota superior em . - Usarei duas propriedades-padrão: (i)
é irracional; (ii) os racionais são densos nos reais (entre quaisquer reais existe racional com ) — quando usar essas propriedades eu explico/mostro-as brevemente.
Passo 2
Proponho o seguinte conjunto como contra-exemplo:
Vou verificar primeiro que
satisfaz as hipóteses (é subconjunto de
, não vazio e cotado superiormente).
-
por construção. -
é não vazio: por exemplo e porque e . -
é cotado superiormente (em e em ): por exemplo é uma cota superior porque para todo temos e, em particular, . Mais simplesmente, se então força , logo . Assim há pelo menos uma cota superior racional (por exemplo ), então é cotado superiormente em .
Portanto
satisfaz a hipótese do enunciado.
Passo 3
Intuição: em
o supremo de
é
. Mas como
, não podemos tomar esse supremo dentro de
. Vou provar duas coisas úteis (uma sobre
e outra sobre densidade dos racionais) que serão usadas na contradição.
Primeiro, prova rápida de que
é irracional (clássica):
- Suponha, por contradição, que
com , , e que a fração está na forma irredutível (ou seja, e primos entre si). - Então
, ou . Daí é par, logo é par; escreva . - Substituindo,
implica , então é par e é par. - Assim
e têm um fator comum , contradizendo que a fração estava irredutível. Logo não é racional.
Segundo, um lembrete (com prova curta) da densidade dos racionais: entre quaisquer reais
existe racional
com
. Prova curta usando o princípio de Arquimedes:
- Escolha
tal que (isso é possível pela propriedade arquimediana). - Os números
e satisfazem , então existe um inteiro com . - Então
e . Logo existe racional entre e .
Vou usar essa densidade para localizar racionais entre
e qualquer racional maior que
.
Passo 4
Agora sigo a estratégia de contradição: suponha, para contradizer a afirmação que queremos derrubar, que
tem uma menor cota superior em
. Ou seja, existe
tal que
- para todo
vale (ou seja, é cota superior), e - para toda cota superior
tem-se (ou seja, é a menor cota superior racional).
Vou obter uma contradição a partir disso.
Observações imediatas:
-
não pode satisfazer . Porque se então (note que pode ser negativo, mas o interessante é o caso com positivo; de qualquer modo, se então existe racional tal que pela densidade; esse satisfaz e portanto , logo não seria cota superior). Portanto qualquer cota superior real deve ser ; em particular, . -
não pode ser igual a porque não é racional (mostrei isso no Passo 3). Como , então necessariamente .
Portanto temos
.
Passo 5
Como
e os racionais são densos nos reais, existe um racional
tal que
(Pela prova de densidade no Passo 3, basta aplicar o argumento com
e
.)
Agora vou mostrar que esse
também é uma cota superior de
, e isso contradiz a minimalidade de
porque
.
Mostro que
é cota superior de
. Tome arbitrário
. Se por absurdo
, então como
e
são reais positivos (pelo formato do conjunto os elementos maiores relevantes são positivos) teria
. Mas
implica
, então
, o que contradiz
(pois para
vale
). Portanto não pode ocorrer
; isto é, para todo
temos
. Logo
é cota superior de
.
Resumindo:
é cota superior de
e satisfa z
. Em particular
, então
não é a menor cota superior racional, contradizendo a suposição da existência de tal
.
Passo 6
Dessa contradição concluímos que a suposição "existe
que é a menor cota superior de
" é falsa para o conjunto
. Assim
é um contra-exemplo que mostra que a proposição original é falsa: existe subconjunto de
cotado superiormente que não possui menor cota superior em
.
Um comentário final, para fixar a intuição: em
o supremo de
é
, mas
, e entre
e qualquer racional maior sempre existe outro racional; por isso não há um “menor” entre as cotas superiores racionais — sempre se pode encontrar uma cota racional menor, mas ainda maior que
.
Resposta
Falsa. Contra-exemplo:
;
é cotado superiormente em
mas não possui menor cota superior em
.