Use os axiomas da relação de ordem (
) em
, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo
e
inteiros:
Se
, então
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
com a ordem natural, a função
é estritamente crescente, isto é,
Os ingredientes são:
- Axiomas de ordem em
: monotonicidade da soma e da multiplicação. - Propriedades algébricas: fatoração ou expansão binomial.
- O contrarrecíproco:
é equivalente a .
Passo 2
Em vez de provar direto, vamos usar o contrarrecíproco. Queremos provar
O contrarrecíproco é
Se demonstrarmos isso, estaremos feitos.
Passo 3
Suponha
. Então existe
com
tal que
Passo 4
Calculemos
usando expansão binomial:
Passo 5
Cada um dos termos adicionais é
:
-
por hipótese. -
em , pois o quadrado de qualquer inteiro é não negativo. - Logo
, e (produto de não negativos).
Pela monotonicidade da soma (axioma de ordem), somar esses três termos não negativos asó pode aumentar ou manter o valor. Portanto
Passo 6
Assim, mostramos o contrarrecíproco:
Logo o direto vale: se
, então
.
Resposta
Portanto, usando axiomas de ordem e propriedades algébricas, concluímos que em