Use os axiomas da relação de ordem ( < ) em \mathbb{Z}, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo a, b e c inteiros:
Se a^{3}<b^{3}, então a<b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{Z} com a ordem natural, a função f(x)=x^3 é estritamente crescente, isto é,
a^3 < b^3 \quad\Longrightarrow\quad a < b.
Os ingredientes são:
  1. Axiomas de ordem em \mathbb{Z}: monotonicidade da soma e da multiplicação.
  2. Propriedades algébricas: fatoração ou expansão binomial.
  3. O contrarrecíproco: P\!\!\implies\!Q é equivalente a \lnot Q\!\!\implies\!\lnot P.

Passo 2

Em vez de provar direto, vamos usar o contrarrecíproco. Queremos provar
a^3 < b^3 \;\Longrightarrow\; a < b.
O contrarrecíproco é
a \ge b \;\Longrightarrow\; a^3 \ge b^3.
Se demonstrarmos isso, estaremos feitos.

Passo 3

Suponha a \ge b. Então existe k\in\mathbb{Z} com k\ge 0 tal que
a = b + k.

Passo 4

Calculemos a^3 usando expansão binomial:
a^3 = (b + k)^3 = b^3 + 3b^2k + 3bk^2 + k^3.

Passo 5

Cada um dos termos adicionais é \ge 0:
  1. k\ge 0 por hipótese.
  2. b^2 \ge 0 em \mathbb{Z}, pois o quadrado de qualquer inteiro é não negativo.
  3. Logo 3b^2k \ge 0, 3bk^2 \ge 0 e k^3 \ge 0 (produto de não negativos).
    Pela monotonicidade da soma (axioma de ordem), somar esses três termos não negativos a b^3 só pode aumentar ou manter o valor. Portanto
a^3 = b^3 + \bigl(3b^2k + 3bk^2 + k^3\bigr) \;\ge\; b^3.

Passo 6

Assim, mostramos o contrarrecíproco:
a \ge b \;\Longrightarrow\; a^3 \ge b^3.
Logo o direto vale: se a^3 < b^3, então a < b.

Resposta

Portanto, usando axiomas de ordem e propriedades algébricas, concluímos que em \mathbb{Z}
a^3 < b^3 \quad\Longrightarrow\quad a < b.

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