Use os axiomas da relação de ordem (
) em
, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo
e
inteiros:
Se
, não implica que
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, embora tenhamos axiomas de ordem que dizem:
- Se
então para todo . - Se
e então . - Se
e então .
nem sempre dese segue . Vamos usar essas regras e propriedades da multiplicação para exibir um contraexemplo.
Passo 2
Escolhemos os inteiros
Claramente
, isto é,
.
Passo 3
Aplicamos o axioma de multiplicação para
duas vezes, primeiro com
e depois com
:
logo
E também
logo
Passo 4
Pela transitividade de “
” em
, de
e
obtemos
Mas
e
, isto é,
Portanto, apesar de
, obtemos
, mostrando que a implicação
não é válida em geral.
Resposta
A implicação não vale: basta o contraexemplo
,
, pois