Use os axiomas da relação de ordem (
) em
, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo
e
inteiros:
Se
, então
Se
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove, usando apenas os axiomas da ordem em
e as propriedades de adição e multiplicação, que sempre que
em
vale
Para isso, vamos usar a fatoração de diferença de cubos e mostrar que cada fator resultante é positivo quando
.
Passo 2
Relembramos a fatoração clássica da diferença de cubos:
Passo 3
Como
, pelo axioma da ordem que diz que somar o mesmo inteiro não altera comparações, temos
Assim, o primeiro fator
é um inteiro estritamente positivo.
Passo 4
Agora mostramos que o segundo fator também é positivo. Note que para qualquer inteiro
vale
. Além disso,
Cada termo dentro de
é
, e a soma só seria zero se
. Mas
impede
e
de serem ambos zero, logo
Passo 5
Pelos axiomas da ordem em
, o produto de dois inteiros positivos é positivo. Logo
Resposta
Logo, provamos que se
então
.