Use os axiomas da relação de ordem ( < ) em \mathbb{Z}, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo a, b e c inteiros:
Se a<b, então a^{3}<b^{3}

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove, usando apenas os axiomas da ordem em \mathbb{Z} e as propriedades de adição e multiplicação, que sempre que a<b em \mathbb{Z} vale
a^{3}<b^{3}.
Para isso, vamos usar a fatoração de diferença de cubos e mostrar que cada fator resultante é positivo quando a<b.

Passo 2

Relembramos a fatoração clássica da diferença de cubos:
b^{3}-a^{3} = (b-a)\,(b^{2}+ab+a^{2}).

Passo 3

Como a<b, pelo axioma da ordem que diz que somar o mesmo inteiro não altera comparações, temos
0 < b + (-a) = b - a.
Assim, o primeiro fator b-a é um inteiro estritamente positivo.

Passo 4

Agora mostramos que o segundo fator também é positivo. Note que para qualquer inteiro z vale z^{2}\ge0. Além disso,
b^{2}+ab+a^{2} = \tfrac12\bigl((a+b)^{2} + a^{2} + b^{2}\bigr).
Cada termo dentro de \tfrac12(\dots) é \ge0, e a soma só seria zero se a=b=0. Mas a<b impede a e b de serem ambos zero, logo
b^{2}+ab+a^{2} > 0.

Passo 5

Pelos axiomas da ordem em \mathbb{Z}, o produto de dois inteiros positivos é positivo. Logo
(b-a)\,(b^{2}+ab+a^{2}) > 0 \quad\Longrightarrow\quad b^{3}-a^{3} > 0 \quad\Longrightarrow\quad a^{3} < b^{3}.

Resposta

Logo, provamos que se a<b então a^{3}<b^{3}.

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