Determine \theta ponto pertencente a parabola \psi(x, y)=-x+4 y-y^{2}=0 que está localizada no 1^{o} quadrante tal que \theta produto de suas coordenadas é o maior possível.
Lof(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o ponto \theta da parábola \psi(x,y)=-x+4y-y^{2}=0 que está no primeiro quadrante (ou seja, x>0 e y>0) tal que o produto das coordenadas x e y é máximo. A função objetivo dada é \mathrm{LoF}(x,y)=xy.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é definida por \psi(x,y)=-x+4y-y^{2}=0.
  • Devemos procurar pontos no primeiro quadrante, isto é, com x>0 e y>0.
  • A função a maximizar é xy.

Passo 2

Vamos usar a restrição da parábola para eliminar uma variável (método direto, mais simples que Lagrange aqui). Da equação da parábola temos:
-x+4y-y^{2}=0.
Isolando x obtemos
x=4y-y^{2}.
Explicação didática: como a restrição nos dá x em função de y, podemos substituir diretamente na função objetivo e reduzir o problema a maximizar uma função de uma única variável y. Isso costuma ser mais simples em provas quando a restrição é explicitamente resolvível.

Passo 3

Substituindo x na função objetivo xy, definimos uma função de y:
f(y)=x y = (4y-y^{2})y = 4y^{2}-y^{3}.
Aqui f(y) representa o produto das coordenadas dos pontos da parábola, em função de y.
Também precisamos observar o domínio admissível de y. Como queremos x>0 e a expressão de x é x=4y-y^{2}=y(4-y), para termos x>0 com y>0 precisamos de 4-y>0. Assim y deve satisfazer
0<y<4.
Portanto vamos maximizar f(y) em y\in(0,4).

Passo 4

Para encontrar máximos de f(y) num intervalo aberto, calculamos a derivada e achamos pontos críticos. Derivando:
f'(y)=\frac{d}{dy}(4y^{2}-y^{3})=8y-3y^{2}.
Colocando em evidência:
f'(y)=y(8-3y).
Os pontos críticos vêm de f'(y)=0, ou seja:
y=0 \quad\text{ou}\quad 8-3y=0 \Rightarrow y=\frac{8}{3}.
Explicação didática: zeros da derivada são candidatos a máximos ou mínimos. O caso y=0 está na fronteira do intervalo e corresponde a x=0 (produto zero), então não é nosso máximo interior. O candidato interior relevante é y=\tfrac{8}{3}, que está dentro do intervalo (0,4).

Passo 5

Aplicamos o teste da segunda derivada para classificar o ponto y=\tfrac{8}{3}. Calculamos:
f''(y)=\frac{d}{dy}(8y-3y^{2})=8-6y.
Avaliaremos em y=\tfrac{8}{3}:
f''\!\left(\tfrac{8}{3}\right)=8-6\cdot\tfrac{8}{3}=8-16=-8.
Como f''\!\left(\tfrac{8}{3}\right)<0, a função f é côncava nesse ponto, logo y=\tfrac{8}{3} é um máximo local. Como é o único máximo interior relevante e os extremos do intervalo (0,4) dão produto 0 (menor que o valor aqui encontrado), concluímos que é o máximo global no intervalo admissível.

Passo 6

Agora determinamos a coordenada x correspondente a y=\tfrac{8}{3} usando a restrição x=4y-y^{2}:
x=4\cdot \tfrac{8}{3}-\left(\tfrac{8}{3}\right)^{2}=\tfrac{32}{3}-\tfrac{64}{9}=\tfrac{96-64}{9}=\tfrac{32}{9}.
Calculamos também o produto máximo:
xy=\tfrac{32}{9}\cdot \tfrac{8}{3}=\tfrac{256}{27}.
Interpretação final: o ponto da parábola no primeiro quadrante que maximiza o produto das coordenadas é \left(\tfrac{32}{9},\tfrac{8}{3}\right) e o produto máximo é \tfrac{256}{27}.

Resposta

\left(\dfrac{32}{9},\dfrac{8}{3}\right)
\dfrac{256}{27}

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