Determine
ponto pertencente a parabola
que está localizada no
quadrante tal que
produto de suas coordenadas é o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o ponto
da parábola
que está no primeiro quadrante (ou seja,
e
) tal que o produto das coordenadas
e
é máximo. A função objetivo dada é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é definida por
. - Devemos procurar pontos no primeiro quadrante, isto é, com
e . - A função a maximizar é
.
Passo 2
Vamos usar a restrição da parábola para eliminar uma variável (método direto, mais simples que Lagrange aqui). Da equação da parábola temos:
Isolando
obtemos
Explicação didática: como a restrição nos dá
em função de
, podemos substituir diretamente na função objetivo e reduzir o problema a maximizar uma função de uma única variável
. Isso costuma ser mais simples em provas quando a restrição é explicitamente resolvível.
Passo 3
Substituindo
na função objetivo
, definimos uma função de
:
Aqui
representa o produto das coordenadas dos pontos da parábola, em função de
.
Também precisamos observar o domínio admissível de
. Como queremos
e a expressão de
é
, para termos
com
precisamos de
. Assim
deve satisfazer
Portanto vamos maximizar
em
.
Passo 4
Para encontrar máximos de
num intervalo aberto, calculamos a derivada e achamos pontos críticos. Derivando:
Colocando em evidência:
Os pontos críticos vêm de
, ou seja:
Explicação didática: zeros da derivada são candidatos a máximos ou mínimos. O caso
está na fronteira do intervalo e corresponde a
(produto zero), então não é nosso máximo interior. O candidato interior relevante é
, que está dentro do intervalo
.
Passo 5
Aplicamos o teste da segunda derivada para classificar o ponto
. Calculamos:
Avaliaremos em
:
Como
, a função
é côncava nesse ponto, logo
é um máximo local. Como é o único máximo interior relevante e os extremos do intervalo
dão produto
(menor que o valor aqui encontrado), concluímos que é o máximo global no intervalo admissível.
Passo 6
Agora determinamos a coordenada
correspondente a
usando a restrição
:
Calculamos também o produto máximo:
Interpretação final: o ponto da parábola no primeiro quadrante que maximiza o produto das coordenadas é
e o produto máximo é
.