Use um computador para esboçar o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com seta a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t)=(t, \cos 2 t, \sin 2 t)

Passo 1

O enunciado pede para usar um computador a fim de esboçar a curva tridimensional definida por
\boldsymbol{r}(t) = \bigl(t,\;\cos(2t),\;\sin(2t)\bigr),
e indicar com setas a direção em que t cresce. O conteúdo envolve curvas paramétricas em \mathbb{R}^3 e seu esboço com software (por exemplo, Python + Matplotlib).

Passo 2

Escolhemos um intervalo de t que mostre várias voltas da hélice. Como \cos(2t) e \sin(2t) têm período \pi, um bom domínio é
t\in[-2\pi,\,2\pi].
Discretizamos esse intervalo em um vetor com pontos suficientes (por exemplo, 400 pontos) para que a curva fique suave.

Passo 3

Implementamos o esboço em Python usando NumPy e Matplotlib. O código abaixo gera o gráfico 3D da curva:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D

# Discretização do parâmetro
t = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 400)
x = t
y = np.cos(2*t)
z = np.sin(2*t)

# Configurações da figura
fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, z, color='blue', lw\(=2\))

# Rótulos dos eixos
ax.\(set_xlabel\)('x')
ax.\(set_ylabel\)('y')
ax.\(set_zlabel\)('z')
plt.\(tight_layout\)()
plt.show()

Passo 4

Para indicar a direção de crescimento de t, inserimos setas ao longo da curva usando quiver. Por exemplo, selecionamos pontos espaçados e desenhamos vetores tangentes:
# Pontos onde aparecerão setas
idx = np.arange(0, len(t), 50)
# Vetores aproximados de direção (diferença finita)
dx = np.diff(x)[idx]
dy = np.diff(y)[idx]
dz = np.diff(z)[idx]

# Desenha setas vermelhas
ax.quiver(x[idx], y[idx], z[idx], dx, dy, dz,
 length\(=0.5\), normaliz\(e=T\)rue, color='red')
plt.show()
Esse procedimento sobrepõe setas vermelhas que apontam no sentido de t crescente (ou seja, no sentido de x aumentando).

Resposta

O gráfico obtido é uma hélice de raio 1 em torno do eixo x, com periódica de \pi em t. As setas vermelhas sobre a curva indicam que, à medida que t cresce, a hélice avança no sentido positivo de x.

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