Utilize computador para traçar a curva de equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a garantir que a visualização é a verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede para traçar, com ajuda de computador, a curva em
dada por
O conteúdo envolve visualização de curvas paramétricas em 3D; vamos precisar escolher um domínio de
que mostre bem a “espiral parabólica” e definir um ponto de vista (ângulos de câmera) que permita enxergar simultaneamente as rotações no plano
e o crescimento em
.
Passo 2
Analisando a forma da curva:
- A projeção em
é
ou seja, o círculo unitário percorrido repetidas vezes.
- A coordenada
cresce conforme o quadrado de , fazendo a curva subir mais rápido à medida que aumenta. Isso gera uma espiral que fica cada vez mais “aberta” verticalmente.
Passo 3
Para visualizar algumas voltas completas sem que o crescimento em
seja excessivo, escolhemos
o que corresponde a duas voltas completas no círculo e mostra a simetria em torno de
.
Passo 4
Um bom ponto de vista em 3D é definido pelos ângulos de elevação e azimute. Por exemplo:
- elevação
(para ver a altura), - azimute
(para ver o perfil de lado e a “projeção”).
Passo 5
Segue um exemplo de código em Python usando Matplotlib para gerar o gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D
t = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 400)
x = np.sin(t)
y = np.cos(t)
z = t**2
fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, z, lw\(=2\), color='blue')
ax.\(view_init\)(elev\(=30\), azim\(=45\))
ax.\(set_xlabel\)('x = sin(t)')
ax.\(set_ylabel\)('y = cos(t)')
ax.\(set_zlabel\)('z = t²')
ax.\(set_title\)('Espiral parabólica: r(t) = (sin t, cos t, t²)')
plt.show()
Ao executar, você verá uma curva que faz duas voltas no plano
enquanto sobe em
segundo
. A inclinação aumenta para
maiores, evidenciando a “espiral parabólica”.
Resposta
Domínio de parâmetro:
Ponto de vista (ângulos de câmera): elevação
, azimute
.
Código Python conforme mostrado no Passo 5.
Código Python conforme mostrado no Passo 5.