Utilize computador para traçar a curva de equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a garantir que a visualização é a verdadeira.
r(t)=\left\langle\sin t, \cos t, t^{2}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede para traçar, com ajuda de computador, a curva em \mathbb{R}^3 dada por
r(t) = \langle \sin t, \cos t, t^2 \rangle.
O conteúdo envolve visualização de curvas paramétricas em 3D; vamos precisar escolher um domínio de t que mostre bem a “espiral parabólica” e definir um ponto de vista (ângulos de câmera) que permita enxergar simultaneamente as rotações no plano xy e o crescimento em z.

Passo 2

Analisando a forma da curva:
  • A projeção em xy é
(x,y) = (\sin t,\cos t),
ou seja, o círculo unitário percorrido repetidas vezes.
  • A coordenada z=t^2 cresce conforme o quadrado de t, fazendo a curva subir mais rápido à medida que |t| aumenta. Isso gera uma espiral que fica cada vez mais “aberta” verticalmente.

Passo 3

Para visualizar algumas voltas completas sem que o crescimento em z seja excessivo, escolhemos
t\in [-2\pi,\,2\pi],
o que corresponde a duas voltas completas no círculo e mostra a simetria em torno de t=0.

Passo 4

Um bom ponto de vista em 3D é definido pelos ângulos de elevação e azimute. Por exemplo:
  • elevação =30^\circ (para ver a altura),
  • azimute =45^\circ (para ver o perfil de lado e a “projeção”).

Passo 5

Segue um exemplo de código em Python usando Matplotlib para gerar o gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D

t = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 400)
x = np.sin(t)
y = np.cos(t)
z = t**2
fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, z, lw\(=2\), color='blue')
ax.\(view_init\)(elev\(=30\), azim\(=45\))
ax.\(set_xlabel\)('x = sin(t)')
ax.\(set_ylabel\)('y = cos(t)')
ax.\(set_zlabel\)('z = t²')
ax.\(set_title\)('Espiral parabólica: r(t) = (sin t, cos t, t²)')

plt.show()
Ao executar, você verá uma curva que faz duas voltas no plano xy enquanto sobe em z segundo t^2. A inclinação aumenta para |t| maiores, evidenciando a “espiral parabólica”.

Resposta

Domínio de parâmetro:
t\in[-2\pi,\,2\pi].
Ponto de vista (ângulos de câmera): elevação =30^\circ, azimute =45^\circ.
Código Python conforme mostrado no Passo 5.

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