Resolva os seguintes problemas utilizando a teoria de Máximos e Mínimos:
Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma montadora de automóveis indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado \mathrm{Q}(\mathrm{t})=-\mathrm{t}^{3}+9 \mathrm{t}^{2}+15 \mathrm{t} unidades " t " horas depois. A que horas da manhã o operário trabalha com maior eficiência? Considere o intervalo [0,4] para t , que corresponde das 8 às 12 da manhã. (Dica: A eficiência é dada pela “velocidade” E(t)=Q^{\prime}(t)=-3 t^{2}+18 t+15 )

Passo 1

O enunciado dá a função da produção acumulada em função do tempo t (horas após as 8h):
Q(t) = -t^{3} + 9t^{2} + 15t,
no intervalo fechado [0,4] (ou seja, das 8h às 12h).
A eficiência é definida como a “velocidade” de montagem, isto é, a derivada de Q. O enunciado já deu essa função:
E(t) = Q'(t) = -3t^{2} + 18t + 15.
A pergunta é: a que hora da manhã o operário trabalha com maior eficiência, considerando t\in[0,4]? (Lembre: se a resposta for t horas após as 8h, a hora do relógio é 8+t.)

Passo 2

Ideia para resolver (teoria necessária, explicada devagarinho):
  • Queremos o máximo absoluto de E(t) num intervalo fechado [0,4].
  • Teorema prático: um máximo absoluto num intervalo fechado ocorre ou em um ponto crítico internamente (onde a derivada de E é zero ou não existe) ou nas extremidades t=0 ou t=4.
  • Aqui E(t) é um polinômio (função suave), logo é derivável em todo lugar; então só precisamos encontrar pontos internos onde E'(t)=0 e comparar os valores de E nesses pontos e nas extremidades.
  • Para derivar polinômios usamos a regra do expoente: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{\,n-1}. Vou aplicar isso abaixo para calcular E'(t).

Passo 3

Calcular a derivada de E para achar pontos críticos:
E(t) = -3t^{2} + 18t + 15,
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E'(t)=\frac{d}{dt}E(t) = \frac{d}{dt}(-3t^{2})+\frac{d}{dt}(18t)+\frac{d}{dt}(15) = -6t + 18 + 0 = -6t + 18.
Resolver E'(t)=0:
-6t + 18 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -6t = -18 \quad\Longrightarrow\quad t = 3.
Não há outros pontos críticos (derivada definida para todo t). Então o único candidato interno é t=3.

Passo 4

Determinar se t=3 é máximo ou mínimo (segundo teste) e comparar com as extremidades:
  • Segundo teste da derivada segunda: calcule E''(t).
E''(t)=\frac{d}{dt}E'(t)=\frac{d}{dt}(-6t+18)=-6.
Como E''(3) = -6 < 0, a função E é côncava para baixo em t=3, portanto t=3 é um ponto de máximo local. Em um polinômio côncavo localmente assim e sendo o único crítico interno, é (provavelmente) o máximo absoluto no intervalo, mas vamos confirmar comparando os valores.
  • Calcule E nos candidatos t=0, t=3 e t=4:
E(0) = -3\cdot0^{2} + 18\cdot0 + 15 = 15,
E(3) = -3\cdot3^{2} + 18\cdot3 + 15 = -27 + 54 + 15 = 42,
E(4) = -3\cdot4^{2} + 18\cdot4 + 15 = -48 + 72 + 15 = 39.
Comparando, E(3)=42 é o maior valor entre os três. Portanto o máximo absoluto de E em [0,4] ocorre em t=3.
(A confirmação alternativa — sinal de E'(t): para t<3, E'(t)=-6t+18>0 cresce; para t>3, E'(t)<0 decresce — isso também mostra mudança de crescente para decrescente em t=3, caracterizando máximo.)

Passo 5

Interpretação final e dica prática para prova:
  • t=3 significa 3 horas após as 8h, ou seja, às 11h da manhã o operário está trabalhando com maior eficiência.
  • Em provas: (1) escreva E(t)=Q'(t); (2) encontre E'(t) e resolva E'(t)=0; (3) use E''(t) ou teste de sinais para classificar o ponto; (4) não esqueça de comparar com os extremos do intervalo para garantir máximo absoluto.

Resposta

Às 11 horas da manhã (quando t=3).

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