Resolva os seguintes problemas utilizando a teoria de Máximos e Mínimos:
Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma montadora de automóveis indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado
unidades " t " horas depois. A que horas da manhã o operário trabalha com maior eficiência? Considere o intervalo
para t , que corresponde das 8 às 12 da manhã. (Dica: A eficiência é dada pela “velocidade”
)
Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma montadora de automóveis indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado
Passo 1
O enunciado dá a função da produção acumulada em função do tempo
(horas após as 8h):
no intervalo fechado
(ou seja, das 8h às 12h).
A eficiência é definida como a “velocidade” de montagem, isto é, a derivada de . O enunciado já deu essa função:
A eficiência é definida como a “velocidade” de montagem, isto é, a derivada de
A pergunta é: a que hora da manhã o operário trabalha com maior eficiência, considerando
? (Lembre: se a resposta for
horas após as 8h, a hora do relógio é
.)
Passo 2
Ideia para resolver (teoria necessária, explicada devagarinho):
- Queremos o máximo absoluto de
num intervalo fechado . - Teorema prático: um máximo absoluto num intervalo fechado ocorre ou em um ponto crítico internamente (onde a derivada de
é zero ou não existe) ou nas extremidades ou . - Aqui
é um polinômio (função suave), logo é derivável em todo lugar; então só precisamos encontrar pontos internos onde e comparar os valores de nesses pontos e nas extremidades. - Para derivar polinômios usamos a regra do expoente:
. Vou aplicar isso abaixo para calcular .
Passo 3
Calcular a derivada de
para achar pontos críticos:
logo
Resolver
:
Não há outros pontos críticos (derivada definida para todo
). Então o único candidato interno é
.
Passo 4
Determinar se
é máximo ou mínimo (segundo teste) e comparar com as extremidades:
- Segundo teste da derivada segunda: calcule
.
Como
, a função
é côncava para baixo em
, portanto
é um ponto de máximo local. Em um polinômio côncavo localmente assim e sendo o único crítico interno, é (provavelmente) o máximo absoluto no intervalo, mas vamos confirmar comparando os valores.
- Calcule
nos candidatos , e :
Comparando,
é o maior valor entre os três. Portanto o máximo absoluto de
em
ocorre em
.
(A confirmação alternativa — sinal de
: para
,
cresce; para
,
decresce — isso também mostra mudança de crescente para decrescente em
, caracterizando máximo.)
Passo 5
Interpretação final e dica prática para prova:
-
significa 3 horas após as 8h, ou seja, às 11h da manhã o operário está trabalhando com maior eficiência. - Em provas: (1) escreva
; (2) encontre e resolva ; (3) use ou teste de sinais para classificar o ponto; (4) não esqueça de comparar com os extremos do intervalo para garantir máximo absoluto.
Resposta
Às
horas da manhã (quando
).