Use os conceitos de continuidade para analisar se a função definida por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função é contínua no ponto (0,0). A função está definida de duas maneiras: para qualquer ponto diferente de (0,0), usamos uma fração com
no numerador e
no denominador. Já no ponto (0,0), o valor da função é 1. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade, que basicamente dizem que para a função ser contínua naquele ponto, o limite quando nos aproximamos de (0,0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa continuidade aqui. A função será contínua em (0,0) se o limite de
quando
se aproxima de (0,0) for igual a 1, que é o valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar as coordenadas polares. Nas coordenadas polares, substituímos
por
e
por
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Isso transforma nossa expressão em termos de
e
:
Passo 4
Sabemos que
. Então, simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
. A expressão
tende a zero, e
é limitada (não cresce indefinidamente) para qualquer valor de
. Portanto, o produto de algo que tende a zero por algo limitado também tende a zero:
Resposta
Como o limite da função quando
se aproxima de (0,0) é 0, que é diferente do valor da função em (0,0) que é 1, a função não é contínua em (0,0).