Use os conceitos de continuidade para analisar se a função definida por:
c x^4-y^4x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 1 se (x, y)=(0,0) é contínua em (0,0) éí

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função é contínua no ponto (0,0). A função está definida de duas maneiras: para qualquer ponto diferente de (0,0), usamos uma fração com x^4 - y^4 no numerador e x^2 + y^2 no denominador. Já no ponto (0,0), o valor da função é 1. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade, que basicamente dizem que para a função ser contínua naquele ponto, o limite quando nos aproximamos de (0,0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa continuidade aqui. A função será contínua em (0,0) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) for igual a 1, que é o valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
lim(x, y) to (0,0) x^4 - y^4x^2 + y^2

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar as coordenadas polares. Nas coordenadas polares, substituímos x por r cos theta e y por r sin theta, onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo. Isso transforma nossa expressão em termos de r e theta:
(r cos theta)^4 - (r sin theta)^4(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^4 cos^4 theta - r^4 sin^4 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)

Passo 4

Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1. Então, simplificando a expressão:
r^4 (cos^4 theta - sin^4 theta)r^2 = r^2 (cos^4 theta - sin^4 theta)

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando r to 0. A expressão r^2 tende a zero, e cos^4 theta - sin^4 theta é limitada (não cresce indefinidamente) para qualquer valor de theta. Portanto, o produto de algo que tende a zero por algo limitado também tende a zero:
limr to 0 r^2 (cos^4 theta - sin^4 theta) = 0

Resposta

Como o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0, que é diferente do valor da função em (0,0) que é 1, a função não é contínua em (0,0).

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