Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que está dentro do cilindro 
 , acima do plano 
  e abaixo do cone 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por 
 , acima do plano 
  (que é o plano 
 ) e abaixo de um cone definido por 
 . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para figuras simétricas em torno do eixo 
 . Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar uma integral tripla para achar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, um ponto no espaço é representado por 
 , onde:
- 
é a distância do ponto até o eixo ,  - 
é o ângulo em torno do eixo ,  - 
é a altura no eixo .  
Essa mudança facilita muito quando lidamos com cilindros e cones, porque essas formas têm simetria circular.
Passo 3
Agora, vamos reescrever as equações dadas em coordenadas cilíndricas:
- O cilindro 
se torna simplesmente , ou seja, .  - O cone 
pode ser reescrito como , então (considerando apenas já que estamos acima do plano ).  
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para 
 , 
  e 
 :
- 
varia de 0 a 2 (já que é o raio do cilindro).  - 
varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .  - 
varia de 0 até (do plano até o cone).  
Passo 5
Com os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume 
 :
Aqui, o 
  extra é o fator jacobiano que aparece na conversão para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integramos em relação a 
:  
- Agora, a integral fica:
 
- Integramos em relação a 
:  
- Finalmente, integramos em relação a 
:  
Resposta
O volume do sólido é 
  unidades cúbicas.