Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{2 y-y{2}}}{\sqrt{2 y-y^{2}}} x d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{2y-y^{2}}}^{\sqrt{2y-y^{2}}} x\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável externa é y com 0\le y\le 2.
  • A variável interna é x com -\sqrt{2y-y^{2}}\le x\le \sqrt{2y-y^{2}}.
  • O integrando é x.
  • Pede-se executar a mudança para coordenadas polares e calcular o valor da integral.

Passo 2

Entender a região de integração R no plano xy. A desigualdade que define os limites em x é
x^{2} \le 2y - y^{2}.
Reescrevendo:
x^{2} + y^{2} - 2y \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + (y-1)^{2} \le 1.
Isto mostra que R é o disco centrado em (0,1) de raio 1. Resumindo: R=\{(x,y)\mid x^{2}+(y-1)^{2}\le 1\}.

Passo 3

Relembrando coordenadas polares e a fórmula de mudança:
  • Em coordenadas polares: x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • O elemento de área muda como dx\,dy = r\,dr\,d\theta (aqui r é o fator jacobiano).
    Explicação rápida do jacobiano: a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) tem diferencial cuja determinação geométrica dá o fator r, por isso dx\,dy=r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Descrever a região R em coordenadas polares. Substituindo x e y na equação da fronteira x^{2}+(y-1)^{2}=1:
r^{2} - 2r\sin\theta +1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} - 2r\sin\theta = 0.
Isto fatoriza como r(r-2\sin\theta)=0, da qual a fronteira não-trivial é
r = 2\sin\theta.
Como r\ge 0, precisamos de \sin\theta\ge 0, logo \theta varia entre 0 e \pi. Portanto a região em polares é
0\le \theta \le \pi,\qquad 0\le r\le 2\sin\theta.
(Geometricamente: o disco centrado em (0,1) fica acima do eixo x, ocupando \theta\in[0,\pi] com raio máximo 2\sin\theta em cada direção.)

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas polares. O integrando x vira r\cos\theta e dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta} (r\cos\theta)\, (r)\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta} r^{2}\cos\theta \,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral iterada. Primeiro integrar em r:
\int_{0}^{2\sin\theta} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2\sin\theta} = \frac{(2\sin\theta)^{3}}{3} = \frac{8}{3}\sin^{3}\theta.
Portanto a integral reduz a
\int_{0}^{\pi} \frac{8}{3}\sin^{3}\theta \cos\theta \,d\theta.
Fazer a substituição u=\sin\theta, então du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta vai de 0 a \pi, u=\sin\theta vai de 0 para 0. Assim
\int_{0}^{\pi} \frac{8}{3}\sin^{3}\theta \cos\theta \,d\theta = \frac{8}{3}\int_{0}^{\pi} \sin^{3}\theta \cos\theta \,d\theta = \frac{8}{3}\int_{u(0)=0}^{u(\pi)=0} u^{3}\,du.
A integral de u^{3} de 0 a 0 é zero, portanto o resultado é 0.
Observação alternativa (intuição): o integrando original é x e a região é simétrica em torno do eixo y (para cada ponto (x,y) (-x,y) no mesmo R), então as contribuições positivas e negativas em x se cancelam, também levando a zero.

Resposta

0

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