Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\int_{1}^{2} \int_{0}{x}\left(x{2}+y{2}\right){-1} d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx
O que pede: calcular essa integral usando coordenadas polares.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}.
  • Os limites são x variando de 1 a 2 e, para cada x, y varia de 0 a x.
  • A região de integração fica no primeiro quadrante entre as retas x=1 e x=2, abaixo da reta y=x e acima da reta y=0.

Passo 2

Descrever a região em coordenadas cartesianas (para depois converter a polares):
  • Bordas da região: y=0 (eixo x), y=x (reta inclinada a 45^\circ), x=1 e x=2 (retas verticais).
  • Pontos-canto relevantes: (1,0), (1,1), (2,0), (2,2).
    A região está inteiramente no primeiro quadrante, então x>0 e y\ge0.

Passo 3

Troca para coordenadas polares: definir
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo com o eixo x. O elemento de área transforma como
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Também transformar o integrando:
x^{2}+y^{2}=r^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{r^{2}}.
Multiplicando pelo jacobiano obtemos a integrando em polares:
\frac{1}{r^{2}}\cdot r = \frac{1}{r}.

Passo 4

Determinar os limites em \theta:
  • A fronteira y=0 corresponde a \theta=0.
  • A fronteira y=x corresponde a \tan\theta=1, ou seja \theta=\dfrac{\pi}{4}.
    Como a região está no primeiro quadrante entre essas duas retas, temos
0\le \theta \le \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Determinar os limites em r para um \theta fixo:
As retas verticais x=1 e x=2 dão, em polares,
r\cos\theta = 1 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{1}{\cos\theta},
r\cos\theta = 2 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{2}{\cos\theta}.
Como \cos\theta>0 em 0\le\theta\le\pi/4, o intervalo de r é
\frac{1}{\cos\theta}\le r\le \frac{2}{\cos\theta}.

Passo 6

Montar a integral em coordenadas polares com os limites obtidos:
\iint_{R}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1/\cos\theta}^{2/\cos\theta}\frac{1}{r}\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral interna em r:
\int_{r=1/\cos\theta}^{2/\cos\theta}\frac{1}{r}\,dr =\left[\ln r\right]_{1/\cos\theta}^{2/\cos\theta} =\ln\!\left(\frac{2/\cos\theta}{1/\cos\theta}\right) =\ln 2.
Note que o resultado da integral em r é independente de \theta. Portanto a integral total fica
\int_{0}^{\pi/4}\ln 2\,d\theta = \ln 2 \int_{0}^{\pi/4} d\theta = \ln 2\cdot\frac{\pi}{4}.

Passo 8

Interpretação rápida / checagem: o integrando é positivo e finito na região (a origem não está na região), o resultado \dfrac{\pi}{4}\ln 2 é positivo e finito, coerente com a geometria do problema.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}\ln 2

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