Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\int_{1}^{2} \int_{0}{x}\left(x{2}+y{2}\right){-1} d y d x
\int_{1}^{2} \int_{0}{x}\left(x{2}+y{2}\right){-1} d y d x
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
O que pede: calcular essa integral usando coordenadas polares.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- O integrando é
. - Os limites são
variando de a e, para cada , varia de a . - A região de integração fica no primeiro quadrante entre as retas
e , abaixo da reta e acima da reta .
Passo 2
Descrever a região em coordenadas cartesianas (para depois converter a polares):
- Bordas da região:
(eixo ), (reta inclinada a ), e (retas verticais). - Pontos-canto relevantes:
, , , .
A região está inteiramente no primeiro quadrante, entãoe .
Passo 3
Troca para coordenadas polares: definir
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo com o eixo
. O elemento de área transforma como
Também transformar o integrando:
Multiplicando pelo jacobiano obtemos a integrando em polares:
Passo 4
Determinar os limites em
:
- A fronteira
corresponde a . - A fronteira
corresponde a , ou seja .
Como a região está no primeiro quadrante entre essas duas retas, temos
Passo 5
Determinar os limites em
para um
fixo:
As retas verticais e
dão, em polares,
As retas verticais
Como
em
, o intervalo de
é
Passo 6
Montar a integral em coordenadas polares com os limites obtidos:
Passo 7
Calcular a integral interna em
:
Note que o resultado da integral em
é independente de
. Portanto a integral total fica
Passo 8
Interpretação rápida / checagem: o integrando é positivo e finito na região (a origem não está na região), o resultado
é positivo e finito, coerente com a geometria do problema.