Use o critério da comparação para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}(n+3)}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}(n+3)}
usando o critério da comparação. Vamos recorrer ao fato de que, para séries de termos positivos, podemos comparar com uma série p conhecida e decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Primeiro, note que todos os termos \displaystyle a_{n} = \frac{1}{n^{2}(n+3)}
são positivos para n\ge1. Isso nos habilita a usar diretamente o critério da comparação simples.

Passo 3

Para n\ge1 temos
n+3 \;\ge\; n \quad\Longrightarrow\quad n^{2}(n+3) \;\ge\; n^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n^{2}(n+3)} \;\le\; \frac{1}{n^{3}}.

Passo 4

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
é uma série p-série com p=3>1, e sabemos que toda p-série com p>1 converge.

Passo 5

Como 0 \le a_{n} \le \tfrac{1}{n^{3}} e \sum 1/n^{3} converge, pelo critério da comparação a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}(n+3)}
também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a série p de parâmetro p=3.

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