Use o critério da comparação para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}-1}{3 n^{5}+2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^{2}-1}{3n^{5}+2n+1}
converge ou diverge usando o critério da comparação. O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação com séries do tipo p-série, sabendo que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e só se, p>1.

Passo 2

Para aplicar a comparação direta, note que para todo n\ge1 valem as desigualdades
2n^{2}-1 \;\le\; 2n^{2}, \qquad 3n^{5}+2n+1 \;\ge\; 3n^{5}.
Dividindo estas desigualdades obtemos
0 \;\le\; \frac{2n^{2}-1}{3n^{5}+2n+1} \;\le\; \frac{2n^{2}}{3n^{5}} = \frac{2}{3}\,\frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Reconhecemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3}\,\frac{1}{n^{3}} = \frac{2}{3}\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
é uma p-série com p=3>1, logo converge. Pelo teste de comparação direta, como \tfrac{2n^{2}-1}{3n^{5}+2n+1}\le\tfrac{2}{3n^{3}} e a série maior converge, então a série dada também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^{2}-1}{3n^{5}+2n+1} converge.

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