Use o critério da comparação para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1) 2^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da comparação e analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)\,2^{n-1}}.
Vamos comparar essa série com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Notamos que, para todo n\ge1,
\frac{n}{n+1}<1,
portanto
\frac{n}{(n+1)\,2^{n-1}}<\frac{1}{2^{n-1}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}
é geométrica de razão r=\tfrac12 (pois \tfrac1{2^{n-1}}=2\cdot\tfrac1{2^n}), e como |r|<1 ela converge.

Passo 4

Pelo critério da comparação, sendo
0\le\frac{n}{(n+1)\,2^{n-1}}<\frac{1}{2^{n-1}}
e sabendo que a série comparadora converge, concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série converge.

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