Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{7}{8}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}n\Bigl(\frac{7}{8}\Bigr)^{n}
usando o critério da razão. Vamos chamar de a_{n}=n\bigl(\tfrac{7}{8}\bigr)^{n} o n-ésimo termo da série e aplicar o teste que diz: se
L=\lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_{n}\bigr|
satisfaz L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1)\bigl(\tfrac{7}{8}\bigr)^{n+1}}{n\bigl(\tfrac{7}{8}\bigr)^{n}} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{7}{8}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{7}{8} =\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\Bigr)\cdot\frac{7}{8} =1\cdot\frac{7}{8} =\frac{7}{8}.
Como \tfrac{7}{8}<1, pelo critério da razão a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\bigl(\tfrac{7}{8}\bigr)^{n} converge.

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