Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{6}{5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da razão na série cujo termo geral é
a_n = n\left(\frac{6}{5}\right)^{n}.
O critério da razão diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
satisfaz L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\bigl(\frac{6}{5}\bigr)^{n+1}}{n\bigl(\frac{6}{5}\bigr)^{n}} = \frac{n+1}{n}\;\frac{6}{5}.

Passo 3

Agora calculamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\;\frac{6}{5} = 1\cdot\frac{6}{5} = \frac{6}{5}.
Como \tfrac{6}{5}>1, o critério da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} n\bigl(\tfrac{6}{5}\bigr)^{n} diverge pelo critério da razão.

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