Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^{2}}\

Passo 1

Temos a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^{2}}
que é uma série de termos positivos. Vamos usar o Critério do Limite de Comparação e o fato de que as p-séries
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
convergem se, e somente se, p>1.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{1}{(n-1)^2} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n^2}.
Sabemos que \sum b_n é uma p-série com p=2>1, logo \sum b_n converge.

Passo 3

Aplicamos o Critério do Limite de Comparação, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n-1)^2} = 1.

Passo 4

Como 0 < L < \infty, as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência. Sabendo que \sum b_n converge, concluímos que \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)^{2}} é convergente.

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