Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4 n^{3}-5 n}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza (convergência ou divergência) da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4n^{3}-5n}}.
O conteúdo é análise de séries de termos positivos e vamos usar o Critério de Comparação no Limite com uma série p.

Passo 2

Para aplicar o critério, escolhemos uma série mais simples cuja convergência conhecemos:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}.
Essa é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1, logo ela converge.

Passo 3

Definimos
a_n = \frac{1}{\sqrt{4n^3-5n}} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n^{3/2}}.
Calculamos o limite do quociente:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{3/2}}{\sqrt{4n^3-5n}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n^3}{4n^3-5n}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Como 0 < L < \infty e a série \sum b_n converge, o Critério de Comparação no Limite assegura que \sum a_n converge também.

Resposta

A série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4n^{3}-5n}}
converge, por comparação no limite com a série p de ordem \tfrac{3}{2}.

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