Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{1+3^{n}}\ Passo 1O enunciado pede para determinar se a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty} a_{n},\quad a_{n} = \frac{1 + 2^{n}}{1 + 3^{n}} converge ou diverge, usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação no Limite. O conteúdo é séries infinitas de termos não negativos e testes de comparação, e para isso vamos comparar com uma série geométrica. Passo 2Observamos que, para n grande, a_{n} = \frac{1 + 2^{n}}{1 + 3^{n}} \approx \frac{2^{n}}{3^{n}} = \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n}. Isso sugere comparar a_{n} com a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} b_{n},\quad b_{n} = \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n}, que sabemos convergir pois a razão \tfrac{2}{3} satisfaz \bigl|\tfrac{2}{3}\bigr|<1. Passo 3Vamos usar o Critério da Comparação no Limite. Calculamos \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 2^{n}}{1 + 3^{n}}\;\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}(1+2^{-n})}{3^{n}(1+3^{-n})}\;\frac{3^{n}}{2^{n}} =\frac{1+0}{1+0}=1. Como este limite é finito e positivo e \sum b_{n} converge, concluímos que \sum a_{n} também converge. RespostaA série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^{n}}{1+3^{n}} converge. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUse o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+4} Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4 n^{3}-5 n}}\ Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{1+3^{n}}\ Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^{2}}\