Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+4}
usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação no Limite. Esse conteúdo faz parte dos testes de convergência de séries numéricas, em que normalmente comparamos o termo geral com uma p-série do tipo \sum 1/n^p.

Passo 2

Denotemos
a_n = \frac{\sqrt{n}}{n+4}.
Para n grande, n+4 comporta-se como n, de modo que
a_n \approx \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}.
Isso sugere comparar a_n com
b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} = n^{-1/2}.

Passo 3

Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/2}
é divergente, pois p = \tfrac12 \le 1.

Passo 4

Aplicando o Critério da Comparação no Limite, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}/(n+4)}{1/\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\,n+4\,} = 1.
Como 0 < L < \infty e a série de b_n diverge, concluímos que a série de a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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