Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}
usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação no Limite. Vamos comparar diretamente com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Para n\ge2 temos
n^n = \underbrace{n\cdot n\cdots n}_{n\text{ vezes}} \;\ge\; \underbrace{2\cdot2\cdots2}_{n\text{ vezes}} =2^n.
Logo,
0 \le \frac{1}{n^n} \le \frac{1}{2^n} \quad\text{para todo }n\ge2.

Passo 3

A série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^n}
é uma série geométrica com razão r=\tfrac12, e como |r|<1 ela converge.

Passo 4

Pela Comparação Direta, como
0 \le \frac{1}{n^n} \le \frac{1}{2^n}
e \sum1/2^n converge, concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty}1/n^n também converge. A adição do termo n=1 (que é finito) não altera a convergência.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n} converge (absolutamente).

Exercícios relacionados