Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}
O conteúdo aqui é séries numéricas; vamos usar o teste da divergência (termo geral não tende a zero) e o Critério da Comparação no Limite.

Passo 2

Defina a_{n}=\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}. Note que
a_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/n^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge imediatamente pelo teste da divergência.

Passo 3

Para reforçar com o Critério da Comparação no Limite, compare com b_{n}=1, cuja série \sum b_{n} é divergente. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}a_{n} =1\quad(0<1<\infty),
logo \sum a_{n} diverge junto com \sum b_{n}.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados