Use o critério indicado e investigue a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty}[\exp (1 / n)-\cos (n \pi)] (Critério do n-ésimo Termo)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl[\exp(1/n)-\cos(n\pi)\bigr]
usando o critério do n-ésimo termo. Vamos verificar o comportamento do termo geral

Passo 2

Defina
a_n = \exp(1/n) - \cos(n\pi).
Como \cos(n\pi)=(-1)^n, podemos reescrever
a_n = \exp(1/n) - (-1)^n.

Passo 3

Estudamos \lim_{n\to\infty}a_n. Primeiro, sabe-se que \exp(1/n)\to1 quando n\to\infty. Portanto, examinamos as subsequências pares e ímpares:
\lim_{k\to\infty}a_{2k} = \lim_{k\to\infty}\bigl(e^{1/(2k)}-1\bigr) = 1-1 = 0,
\lim_{k\to\infty}a_{2k+1} = \lim_{k\to\infty}\bigl(e^{1/(2k+1)}+1\bigr) = 1+1 = 2.
Como as duas subsequências têm limites diferentes, o limite \lim_{n\to\infty}a_n não existe, em particular não é zero.

Passo 4

Pelo critério do n-ésimo termo, se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série \sum a_n diverge.

Resposta

A série diverge.

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