Use o critério indicado e investigue a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+4} (Critério da Comparação Direta)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+4}
usando o Critério da Comparação Direta. O conteúdo aqui é séries numéricas e p-séries, e vamos precisar comparar com uma série do tipo \sum 1/n^{p}.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1,
n^{2}+4 \;\ge\; n^{2},
então
\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+4}\;\le\;\frac{\sqrt{n}}{n^{2}}.
Note que
\frac{\sqrt{n}}{n^{2}} =\frac{n^{1/2}}{n^{2}} =\frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
é uma p-série com p=\tfrac{3}{2}>1, logo ela converge.

Passo 4

Pelo Critério da Comparação Direta, como
0\le\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+4}\le\frac{1}{n^{3/2}}
e \sum 1/n^{3/2} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+4}
também converge.

Resposta

A série converge pelo Critério da Comparação Direta.

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