Use o critério indicado e investigue a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}+2}{4^{n}-3} \quad (Qualquer critério)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+2}{4^{n}-3}
Trata-se de uma série de termos positivos. Vamos comparar com uma série geométrica ou usar o critério de comparação-limite.

Passo 2

Para n grande, os termos dominantes no numerador e no denominador são 3^n e 4^n, respectivamente. Logo
\frac{3^n+2}{4^n-3}\sim \frac{3^n}{4^n}=\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^n.
Isso sugere comparação com a série geométrica de razão 3/4.

Passo 3

Defina a_n=\frac{3^n+2}{4^n-3} e b_n=(\tfrac{3}{4})^n. Calculemos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3^n+2}{4^n-3}}{(\tfrac{3}{4})^n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{2}{3^n}\Bigr)\frac{1}{1-\frac{3}{4^n}} =1.
Como \sum b_n é uma série geométrica convergente 3/4<1 e o limite acima é finito e não nulo, pelo critério de comparação-limite concluímos que \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}+2}{4^{n}-3} é convergente.

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