Use o critério da Raíz ou de Cauchy, para determinar a natureza das séries.
\sum_{n=1}^{\infty}[(2+\frac{3}{n}+\frac{4}{n^{2}})^{n}]^{2}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl[(2+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{2}})^{n}\bigr]^{2}
usando o critério da raiz (ou de Cauchy). Lembrando que, se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|},
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \bigl(2+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{2}}\bigr)^{2n}.
Aplicando a raiz enésima a a_n, obtemos
\sqrt[n]{|a_n|} = \Bigl[\bigl(2+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{2}}\bigr)^{2n}\Bigr]^{1/n} = \bigl(2+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{2}}\bigr)^{2}.

Passo 3

Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\bigl(2+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{2}}\bigr)^{2} = 2^{2} = 4.
Como L=4>1, o critério da raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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