Use o critério da Raíz ou de Cauchy, para determinar a natureza das séries.
\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{4 n+3})^{2 n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n+1}{4n+3}\Bigr)^{2n}
usando o critério da raiz (ou de Cauchy), que consiste em calcular
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|},
onde a_n=(\tfrac{n+1}{4n+3})^{2n}. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aplicando o critério da raiz à série dada, temos
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} =\sqrt[n]{\Bigl(\frac{n+1}{4n+3}\Bigr)^{2n}} =\Bigl(\frac{n+1}{4n+3}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Agora calculamos o limite dessa expressão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n+1}{4n+3}\Bigr)^{2} =\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{4n+3}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac14\Bigr)^{2} =\frac{1}{16}.

Passo 4

Como o valor limite L=\tfrac1{16} satisfaz L<1, pelo critério da raiz a série converge absolutamente. Logo, a série converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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