Use o critério da Raíz ou de Cauchy, para determinar a natureza das séries.
\sum_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})^{n}

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{com}\quad a_n=\Bigl(1+\frac1n+\frac1{n^2}\Bigr)^{n}.
O conteúdo principal aqui é o crité­rio da raiz de Cauchy, que diz que, definindo
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n},
se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calcular o termo \sqrt[n]{a_n}. Temos
\sqrt[n]{a_n} =\sqrt[n]{\Bigl(1+\frac1n+\frac1{n^2}\Bigr)^{n}} =1+\frac1n+\frac1{n^2}.
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L =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n+\frac1{n^2}\Bigr) =1.

Passo 3

Como L=1, o crité­rio da raiz não decide a convergência. Precisamos então recorrer a outro teste: o teste do termo geral, que exige que a_n\to0 para que a série possa convergir.

Passo 4

Avaliar o limite do termo geral a_n. Escrevendo
\ln(a_n) =n\ln\Bigl(1+\frac1n+\frac1{n^2}\Bigr),
usamos a expansão para grandes n:
\ln\Bigl(1+\frac1n+\frac1{n^2}\Bigr) =\frac1n+\frac1{n^2}-\frac1{2n^2}+\mathrm{o}\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr) =\frac1n+\frac1{2n^2}+\mathrm{o}\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr).
Multiplicando por n:
\ln(a_n) =1+\frac1{2n}+\mathrm{o}\Bigl(\frac1n\Bigr) \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1.
Portanto
a_n =e^{\ln(a_n)} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;e\neq0.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral \,a_n não tende a zero.

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