Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas:
Se \sum a_{n} e \sum b_{n} divergem então \sum \alpha\left(a_{n}\right)+\sum \beta\left(b_{n}\right) diverge para todo \alpha, \beta \in R.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas séries \sum a_{n} e \sum b_{n} que divergem, então a combinação
\sum \bigl(\alpha\,a_{n} + \beta\,b_{n}\bigr)
também diverge para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R}. O conteúdo aqui é séries numéricas, divergência e linearidade de somas de séries.

Passo 2

Lembre que a soma de séries convergentes obedece à linearidade: se \sum a_{n} e \sum b_{n} convergem, então para quaisquer \alpha,\beta vale
\sum (\alpha\,a_{n} + \beta\,b_{n}) = \alpha\sum a_{n} + \beta\sum b_{n},
que converge. Porém, se \sum a_{n} e \sum b_{n} divergam, não há garantia de que qualquer combinação \alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n} também diverge — pode ocorrer cancelamento exato dos termos.

Passo 3

Vamos dar um contraexemplo. Defina
a_{n} = 1, \quad b_{n} = -1.
Então
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}1 \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)
são ambas divergentes (a primeira vai a +\infty, a segunda a -\infty). Mas, se escolhermos \alpha=1 e \beta=1, temos para todo n \alpha\,a_{n} + \beta\,b_{n} = 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 0,
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\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha\,a_{n} + \beta\,b_{n}) = \sum_{n=1}^{\infty}0 = 0,
que é convergente.

Passo 4

Como encontramos \alpha,\beta tais que \sum(\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n}) converge mesmo com \sum a_{n} e \sum b_{n} divergentes, a afirmação “para todo \alpha,\beta a combinação diverge” é falsa.

Resposta

Falsa. Por exemplo, a_{n}=1, b_{n}=-1 e \alpha=\beta=1 dão duas séries divergentes cujas combinações somadas são zero e convergem.

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