Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas:
Se
e
divergem então
diverge para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas séries
e
que divergem, então a combinação
também diverge para todo
. O conteúdo aqui é séries numéricas, divergência e linearidade de somas de séries.
Passo 2
Lembre que a soma de séries convergentes obedece à linearidade: se
e
convergem, então para quaisquer
vale
que converge. Porém, se
e
divergam, não há garantia de que qualquer combinação
também diverge — pode ocorrer cancelamento exato dos termos.
Passo 3
Vamos dar um contraexemplo. Defina
Então
são ambas divergentes (a primeira vai a
, a segunda a
). Mas, se escolhermos
e
, temos para todo
logo
que é convergente.
Passo 4
Como encontramos
tais que
converge mesmo com
e
divergentes, a afirmação “para todo
a combinação diverge” é falsa.
Resposta
Falsa. Por exemplo,
,
e
dão duas séries divergentes cujas combinações somadas são zero e convergem.