Use decomposição em frações parciais para calcular:
\int \frac{3 x^{2}-5 x+4}{x^{3}-x^{2}+x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x^{2}-5x+4}{x^{3}-x^{2}+x-1}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Vamos fatorar o denominador e depois expressar a função como soma de termos mais simples.

Passo 2

Observe que
x^{3}-x^{2}+x-1 = x^{2}(x-1)+1\cdot(x-1) = (x^{2}+1)(x-1).
Logo o denominador se fatorou em (x-1)(x^{2}+1).

Passo 3

Propomos a decomposição
\frac{3x^{2}-5x+4}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+1), obtemos
3x^{2}-5x+4 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1).

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1) = A x^{2} + A + Bx^{2} - Bx + Cx - C = (A+B)x^{2} + ( -B + C)x + (A - C).
Igualando coeficientes com 3x^{2}-5x+4\), surge o sistema \[\begin{cases} A + B = 3,\\\\ -\,B + C = -5,\\\ A - C = 4. \end{cases}
Resolvendo:
da primeira B=3-A\]. Então a segunda dá \(C=-5+B=-5+(3-A)=-2-A. Na terceira:
A - (-2 - A) = 2A + 2 = 4 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo B=2 e C=-3.

Passo 5

Substituindo na decomposição, temos
\frac{3x^{2}-5x+4}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{1}{x-1} + \frac{2x - 3}{x^{2}+1}.
Assim o integral se divide:
\int \frac{3x^{2}-5x+4}{x^{3}-x^{2}+x-1}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx + \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx - 3 \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Calculando cada parte:
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr|,
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr),
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.

Resposta

\ln\bigl|x-1\bigr| \;+\;\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\;-\;3\,\arctan x \;+\;C

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