Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
(a)
\int \frac{1}{x^{2}+2 x} d x
(b)
\int \frac{3 x-2}{x^{2}-4 x+5} d x
(c)
\int \frac{3 x-6}{\sqrt{x^{2}-4 x+5}} d x
(d)
\int \frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)-6 \operatorname{sen}(x)+12} d x
(e)
\int \operatorname{sen}^{10}(x) \cos ^{3}(x) d x
(f)
\int \tan ^{4}(x) d x
(g)
\int \cos ^{3}(x) d x
(h)
\int \operatorname{sen}(2 x) \cos (x) d x
(i)
\int \frac{1}{x(x+1)^{2}} d x
(j)
\int \frac{5 x^{2}+6 x+9}{(x-3)^{2}(x+1)^{2}} d x
(k)
\int \frac{2 x-3}{\left(x^{2}-3 x+2\right)^{3}} d x
(l)
\int \frac{5 x^{2}-10 x-8}{x^{4}-4 x^{2}} d x
(m)
\int \frac{e^{2 x}}{e^{x}+4} d x
(n)
\int \frac{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}}{2 x+1} d x
(o)
\int \frac{6 x-11}{(x-1)^{2}} d x
§
\int \operatorname{sen}^{5}(x) d x
(q)
\int \operatorname{sec} (x) \tan (x) \sqrt{1+\operatorname{sec} (x)} d x
®
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-9}} d x
(s)
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+9}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais indefinidas usando técnicas como decomposição em frações parciais, substituição, completar o quadrado, identidades trigonométricas, divisão de polinômios e substituições trigonométricas. Vamos agrupar as integrais por técnica e resolver cada grupo.

Passo 2

(frações parciais) Para integrais da forma racional \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx em que \deg P<\deg Q, primeiro fatoramos Q(x) e escrevemos
\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum \frac{A_i}{x-a_i}+\sum\frac{B_jx+C_j}{(x^2+bx+c)}
e depois integramos termo a termo. Aplicamos a essa classe os itens
(a) \int\frac{1}{x^2+2x}dx,
(i) \int\frac{1}{x(x+1)^2}dx,
(j) \int\frac{5x^2+6x+9}{(x-3)^2(x+1)^2}dx,
(k) \int\frac{2x-3}{(x^2-3x+2)^3}dx,
(o) \int\frac{6x-11}{(x-1)^2}dx.
Como exemplo, em (a) temos
\frac{1}{x^2+2x}=\frac{1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}
resolvendo A(x+2)+B x=1 A=\tfrac12, B=-\tfrac12. Logo
\int\frac{1}{x^2+2x}dx =\frac12\int\frac{dx}{x}-\frac12\int\frac{dx}{x+2} =\frac12\ln|x|-\frac12\ln|x+2|+C.
Para (i), (j), (k) e (o) seguimos processo análogo.

Passo 3

(completar quadrado e substituição simples) Quando o denominador é quadrático sem raízes reais e o numerador é afim, completamos o quadrado em x^2-4x+5=(x-2)^2+1 e separamos parte que gera \ln e parte que gera \arctan. Aplicamos a
(b) \int\frac{3x-2}{x^2-4x+5}dx e
(c) \int\frac{3x-6}{\sqrt{x^2-4x+5}}dx.

Passo 4

(divisão de polinômios) Se \deg P\ge\deg Q, dividimos e quebramos em polinômio mais resto sobre Q. Isso vale para
(n) \int\frac{x^4+2x^3+x^2}{2x+1}dx.

Passo 5

(exponenciais) Para
(m) \int\frac{e^{2x}}{e^x+4}dx
fazemos u=e^x, então du=e^x dx e e^{2x}=u^2.

Passo 6

(trigonométricas de potência) Para potências de \sin e \cos usamos identidades ou substituições:
(e) \int\sin^{10}x\cos^3x\,dx (substituir u=\sin x),
(f) \int\tan^4x\,dx (escrever \tan^4x=\operatorname{sec}^2x\,\tan^2x-\tan^2x ou usar \tan^2=\operatorname{sec}^2-1),
(g) \int\cos^3x\,dx (escrever \cos^3x=\cos x(1-\sin^2x), u=\sin x),
§ \int\sin^5x\,dx (semelhante a (g)).

Passo 7

(funções trig com substituição) Para
(d) \int\frac{\cos x}{\sin^2x-6\sin x+12}dx usamos u=\sin x.
(h) \int\sin(2x)\cos x\,dx usa \sin(2x)=2\sin x\cos x.
(q) \int\operatorname{sec} x\tan x\sqrt{1+\operatorname{sec} x}\,dx faz u=1+\operatorname{sec} x.

Passo 8

(substituições trigonométricas para raízes) Para
® \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}}dx e
(s) \int\frac{x^3}{\sqrt{x^2+9}}dx
usamos x=3\operatorname{sec}\theta em ® e x=3\tan\theta em (s).

Resposta

(a) \displaystyle \frac12\ln|x|-\frac12\ln|x+2|+C
(b) \displaystyle \frac32\ln\bigl((x-2)^2+1\bigr)-2\arctan(x-2)+C
(c) \displaystyle 3\sqrt{(x-2)^2+1}+C
(d) \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\!\bigl|\sin x-3+\sqrt{3}\bigr|-\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\!\bigl|\sin x-3-\sqrt{3}\bigr|+C
(e) \displaystyle \frac{\sin^{11}x}{11}+\frac{\sin^9x}{9}+C
(f) \displaystyle \frac{\tan^3x}{3}-\tan x+x+C
(g) \displaystyle \frac{\sin x}{1}-\frac{\sin^3x}{3}+C
(h) \displaystyle \int2\sin x\cos^2x\,dx=\frac23\sin^3x+C
(i) \displaystyle -\frac{1}{x+1}+\ln|x|-\ln|x+1|+C
(j) \displaystyle \frac{1}{x-3}-\frac{2}{x-3}+\frac{3}{x+1}-\frac{4}{x+1}+C
(k) \displaystyle -\frac{1}{2(x-1)^2}+\frac{1}{(x-2)^2}+C
(l) \displaystyle \frac{5}{2}\ln\bigl|x-1\bigr|-\frac{5}{2}\ln\bigl|x+1\bigr|-4\bigl(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\bigr)+C
(m) \displaystyle u=e^x\implies \int\frac{u^2}{u+4}\frac{du}{u}=\int\bigl(u-4+\frac{16}{u+4}\bigr)du
\displaystyle =\frac{u^2}{2}-4u+16\ln|u+4|+C
\displaystyle =\frac{e^{2x}}{2}-4e^x+16\ln(e^x+4)+C
(n) \displaystyle \frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{4}-\frac{x}{8}+\frac{1}{16}\ln|2x+1|+C
(o) \displaystyle 6\ln|x-1|+\frac{5}{x-1}+C
§ \displaystyle -\frac{\cos x}{1}+\frac{\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}+C
(q) \displaystyle u=1+\operatorname{sec} x,\;du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx\implies \frac23(1+\operatorname{sec} x)^{3/2}+C
® \displaystyle x=3\operatorname{sec}\theta,\;dx=3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\implies \frac{1}{9}\arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{x}\bigr)+C
(s) \displaystyle x=3\tan\theta\implies \frac{(x^2+9)^{3/2}}{3}+C

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