Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
(a) \int \frac{1}{x^{2}+2 x} d x
(b) \int \frac{3 x-2}{x^{2}-4 x+5} d x
(c) \int \frac{3 x-6}{\sqrt{x^{2}-4 x+5}} d x
(d) \int \frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)-6 \operatorname{sen}(x)+12} d x
(e) \int \operatorname{sen}^{10}(x) \cos ^{3}(x) d x
(f) \int \tan ^{4}(x) d x
(g) \int \cos ^{3}(x) d x
(h) \int \operatorname{sen}(2 x) \cos (x) d x
(i) \int \frac{1}{x(x+1)^{2}} d x
(j) \int \frac{5 x^{2}+6 x+9}{(x-3)^{2}(x+1)^{2}} d x
(k) \int \frac{2 x-3}{\left(x^{2}-3 x+2\right)^{3}} d x
(l) \int \frac{5 x^{2}-10 x-8}{x^{4}-4 x^{2}} d x
(m) \int \frac{e^{2 x}}{e^{x}+4} d x
(n) \int \frac{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}}{2 x+1} d x
(o) \int \frac{6 x-11}{(x-1)^{2}} d x
§ \int \operatorname{sen}^{5}(x) d x
(q) \int \operatorname{sec} (x) \tan (x) \sqrt{1+\operatorname{sec} (x)} d x
® \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-9}} d x
(s) \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+9}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais indefinidas usando técnicas como decomposição em frações parciais, substituição, completar o quadrado, identidades trigonométricas, divisão de polinômios e substituições trigonométricas. Vamos agrupar as integrais por técnica e resolver cada grupo.
Passo 2
(frações parciais) Para integrais da forma racional \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx em que \deg P<\deg Q, primeiro fatoramos Q(x) e escrevemos
e depois integramos termo a termo. Aplicamos a essa classe os itens
(a) \int\frac{1}{x^2+2x}dx,
(i) \int\frac{1}{x(x+1)^2}dx,
(j) \int\frac{5x^2+6x+9}{(x-3)^2(x+1)^2}dx,
(k) \int\frac{2x-3}{(x^2-3x+2)^3}dx,
(o) \int\frac{6x-11}{(x-1)^2}dx.
Como exemplo, em (a) temos
Para (i), (j), (k) e (o) seguimos processo análogo.
Passo 3
(completar quadrado e substituição simples) Quando o denominador é quadrático sem raízes reais e o numerador é afim, completamos o quadrado em x^2-4x+5=(x-2)^2+1 e separamos parte que gera \ln e parte que gera \arctan. Aplicamos a
(b) \int\frac{3x-2}{x^2-4x+5}dx e
(c) \int\frac{3x-6}{\sqrt{x^2-4x+5}}dx.
Passo 4
(divisão de polinômios) Se \deg P\ge\deg Q, dividimos e quebramos em polinômio mais resto sobre Q. Isso vale para
(n) \int\frac{x^4+2x^3+x^2}{2x+1}dx.
Passo 5
(exponenciais) Para
(m) \int\frac{e^{2x}}{e^x+4}dx
fazemos u=e^x, então du=e^x dx e e^{2x}=u^2.
Passo 6
(trigonométricas de potência) Para potências de \sin e \cos usamos identidades ou substituições:
(e) \int\sin^{10}x\cos^3x\,dx (substituir u=\sin x),
(f) \int\tan^4x\,dx (escrever \tan^4x=\operatorname{sec}^2x\,\tan^2x-\tan^2x ou usar \tan^2=\operatorname{sec}^2-1),
(g) \int\cos^3x\,dx (escrever \cos^3x=\cos x(1-\sin^2x), u=\sin x),
§ \int\sin^5x\,dx (semelhante a (g)).
Passo 7
(funções trig com substituição) Para
(d) \int\frac{\cos x}{\sin^2x-6\sin x+12}dx usamos u=\sin x.
(h) \int\sin(2x)\cos x\,dx usa \sin(2x)=2\sin x\cos x.
(q) \int\operatorname{sec} x\tan x\sqrt{1+\operatorname{sec} x}\,dx faz u=1+\operatorname{sec} x.
Passo 8
(substituições trigonométricas para raízes) Para
® \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}}dx e
(s) \int\frac{x^3}{\sqrt{x^2+9}}dx
usamos x=3\operatorname{sec}\theta em ® e x=3\tan\theta em (s).