Use a Definição (3.5) para achar
. (b) Determine o domínio de
. (c) Escreva a equação da tangente ao gráfico de
no ponto
. (d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e o ponto
, e pede:
(a) a derivada usando a definição de limite (Definição (3.5)),
(b) o domínio de ,
(c) a equação da reta tangente ao gráfico de em
,
(d) os pontos em que a tangente é horizontal.
Vamos usar a definição de derivada
(a) a derivada
(b) o domínio de
(c) a equação da reta tangente ao gráfico de
(d) os pontos em que a tangente é horizontal.
Vamos usar a definição de derivada
propriedades de polinômios e a fórmula da reta tangente em ponto.
Passo 2
Aplicando a definição, calculamos o quociente incremental:
Fazendo
, resta
Passo 3
Como
é um polinômio, o seu domínio é todo o conjunto dos números reais.
Logo,
Logo,
Passo 4
Para a reta tangente em
, primeiro avaliamos o coeficiente angular:
Usando a forma ponto–inclinação
com
, vem
Passo 5
Tangente horizontal ocorre quando
, isto é,
Calculamos as ordenadas:
Portanto, os pontos com tangente horizontal são
e
.
Resposta
a)
b)
c)
d) Pontos de tangente horizontal:
b)
c)
d) Pontos de tangente horizontal: