Use a Definição (3.5) para achar f^{\prime}(x). (b) Determine o domínio de f^{\prime}. (c) Escreva a equação da tangente ao gráfico de f no ponto P. (d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
f(x)=x^{3}-4 x ; P(2,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{3}-4x
e o ponto P(2,0), e pede:
(a) a derivada f'(x) usando a definição de limite (Definição (3.5)),
(b) o domínio de f',
(c) a equação da reta tangente ao gráfico de f em P,
(d) os pontos em que a tangente é horizontal.
Vamos usar a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
propriedades de polinômios e a fórmula da reta tangente em ponto.

Passo 2

Aplicando a definição, calculamos o quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{(x+h)^{3}-4(x+h)-\bigl(x^{3}-4x\bigr)}{h} =\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-4h}{h} =3x^{2}+3xh+h^{2}-4.
Fazendo h\to0, resta
f'(x)=3x^{2}-4.

Passo 3

Como f'(x)=3x^{2}-4 é um polinômio, o seu domínio é todo o conjunto dos números reais.
Logo,
\text{Dom\,}f'=\mathbb{R}.

Passo 4

Para a reta tangente em P(2,0), primeiro avaliamos o coeficiente angular:
m=f'(2)=3\cdot2^{2}-4=12-4=8.
Usando a forma ponto–inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}) com (x_{0},y_{0})=(2,0), vem
y-0=8\,(x-2) \quad\Longrightarrow\quad y=8x-16.

Passo 5

Tangente horizontal ocorre quando f'(x)=0, isto é,
3x^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\tfrac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
Calculamos as ordenadas:
f\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^{3}-4\cdot\tfrac{2}{\sqrt{3}} =-\tfrac{16}{3\sqrt{3}} =-\tfrac{16\sqrt{3}}{9},
f\!\bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^{3}-4\cdot\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr) =\tfrac{16}{3\sqrt{3}} =\tfrac{16\sqrt{3}}{9}.
Portanto, os pontos com tangente horizontal são \bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}},-\tfrac{16\sqrt{3}}{9}\bigr) e \bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{16\sqrt{3}}{9}\bigr).

Resposta

a) \displaystyle f'(x)=3x^{2}-4.
b) \displaystyle \text{Dom\,}f'=\mathbb{R}.
c) \displaystyle y=8x-16.
d) Pontos de tangente horizontal:
\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}},-\tfrac{16\sqrt{3}}{9}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{16\sqrt{3}}{9}\Bigr).

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