Use a Definição (3.5) para achar f^{\prime}(x). (b) Determine o domínio de f^{\prime}. (c) Escreva a equação da tangente ao gráfico de f no ponto P. (d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
f(x)=3 x^{2}-2 x-4 ; P(2,4)

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=3x^{2}-2x-4
(a) achar f'(x) usando a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
(b) determinar o domínio de f',
(c) escrever a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(2,4),
(d) achar os pontos em que a tangente é horizontal.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, primeiro calculamos
f(x+h)=3(x+h)^{2}-2(x+h)-4 =3x^{2}+6xh+3h^{2}-2x-2h-4.
Logo
f(x+h)-f(x) =(3x^{2}+6xh+3h^{2}-2x-2h-4)-(3x^{2}-2x-4) =6xh+3h^{2}-2h.
Dividindo por h e tomando o limite:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{6xh+3h^{2}-2h}{h} =6x+3h-2,
f'(x) =\lim_{h\to0}(6x+3h-2) =6x-2.

Passo 3

Como f'(x)=6x-2 é um polinômio, ela está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Portanto,
\text{Domínio de }f'=\mathbb{R}.í

Passo 4

No ponto P(2,4), o coeficiente angular da tangente é
m=f'(2)=6\cdot2-2=10.
A equação da reta com esse coeficiente passando por (2,4) é
y-4=10(x-2) \quad\Longrightarrow\quad y=10x-16.

Passo 5

Tangente horizontal ocorre quando f'(x)=0:
6x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac13.
O valor de y é
y=f\bigl(\tfrac13\bigr) =3\bigl(\tfrac13\bigr)^{2}-2\bigl(\tfrac13\bigr)-4 =\tfrac13-\tfrac23-4 =-\tfrac{13}{3}.
Logo há tangente horizontal em \bigl(\tfrac13,\,-\tfrac{13}{3}\bigr).

Resposta

a) \displaystyle f'(x)=6x-2.
b) \displaystyle \text{Dom}\,f'=\mathbb{R}.
c) \displaystyle y-4=10(x-2), ou y=10x-16.
d) Tangente horizontal em \bigl(\tfrac13,\,-\tfrac{13}{3}\bigr).

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