Use a Definição (3.5) para achar f^{\prime}(x). (b) Determine o domínio de f^{\prime}. (c) Escreva a equação da tangente ao gráfico de f no ponto P. (d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
f(x)=x^{3}+x ; P(1,2)

Passo 1

O enunciado pede:
a) usar a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para encontrar f'(x);
b) determinar o domínio de f';
c) escrever a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(1,2);
d) achar os pontos onde a tangente é horizontal.
A função dada é f(x)=x^{3}+x.

Passo 2

Aplicando a definição,
f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}+(x+h)-(x^{3}+x)}{h}.
Expandindo o numerador,
(x+h)^{3}+ (x+h) -x^{3}-x = x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+x+h -x^{3}-x =3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+h.
Dividindo por h e fazendo h\to0,
\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+h}{h} =3x^{2}+3xh+h^{2}+1 \;\xrightarrow{h\to0}\; 3x^{2}+1.
Logo,
f'(x)=3x^{2}+1.

Passo 3

Como f'(x)=3x^{2}+1 é polinomial, não há restrição de domínio. Portanto,
\text{Domínio de }f'=\mathbb{R}.í

Passo 4

No ponto P(1,2), temos
f'(1)=3\cdot1^{2}+1=4.
A reta tangente em x=1 usa a forma ponto-declive:
y-2=4(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=4x-2.

Passo 5

Tangente horizontal ocorre quando f'(x)=0, isto é,
3x^{2}+1=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}=-\tfrac13,
que não tem solução real. Logo, não existem pontos de tangente horizontal.

Resposta

(a) f'(x)=3x^{2}+1
(b) \mathrm{Dom}\,f'=\mathbb{R}
(c) y=4x-2
(d) não há pontos com tangente horizontal

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