Use a definição para calcular a derivada de cada função abaixo e diga quais são os domínios da função e de sua derivada.
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f:
  • Calcular a derivada de f usando a definição da derivada.
  • Dizer o domínio da função f e o domínio da sua derivada f'.
A função dada é
f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A presença de \dfrac{1}{x} indica que a função não está definida em x=0.
  • A derivada deve ser obtida a partir da definição por limites (não usar apenas regras prontas).

Passo 2

Lembrando a definição da derivada em um ponto (usada aqui para obter a expressão geral): para cada x em que a função estiver definida, a derivada f'(x) é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
desde que esse limite exista. Isso quer dizer: pega-se o incremento de f quando a variável muda de x para x+h, divide-se pelo incremento h e observa-se o que acontece quando h tende a zero. Se o limite existir, esse é o valor da derivada no ponto x. Note que para aplicar essa fórmula precisamos que f(x) e f(x+h) estejam definidos para valores de h próximos de zero — por isso pontos onde f não é definida (como x=0) não são candidatos à derivada.

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao f dado. Primeiro calcule f(x+h):
f(x+h)=\frac{1}{x+h}-\frac{1}{3}.
Agora formamos a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right).
Os termos -\dfrac{1}{3} se cancelam, restando
f(x+h)-f(x)=\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}.

Passo 4

Coloca-se isso sobre h e simplifica a fração (fazendo a soma com denominador comum):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h} =\frac{\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h} =\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}.
Agora simplifica o fator h (desde que h\neq0, o que é compatível ao fazermos o limite h\to0):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-\frac{1}{x(x+h)}.

Passo 5

Tomamos o limite quando h\to0. Como a expressão obtida já cancelou o h, dá para substituir h=0 diretamente (desde que x\neq0, para evitar divisão por zero):
f'(x)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{1}{x(x+h)}\right)=-\frac{1}{x^2},
válido para todo x tal que x\neq0. Observação importante: não existe derivada em x=0 porque a própria função f não está definida em x=0, logo não faz sentido calcular a derivada aí.

Passo 6

Resumo interpretativo e verificação rápida: a parte -\dfrac{1}{3} é constante, então não contribui para a derivada; a derivada de \dfrac{1}{x} pela definição deu -\dfrac{1}{x^2}. O cálculo pela definição confirmou o resultado que normalmente se obtém pela regra da potência (já que \dfrac{1}{x}=x^{-1} e \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}).

Resposta

f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} para x\neq 0.
Domínio de f: \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Domínio de f': \mathbb{R}\setminus\{0\}.

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