Use a definição para calcular a derivada de cada função abaixo e diga quais são os domínios da função e de sua derivada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Calcular a derivada de
usando a definição da derivada. - Dizer o domínio da função
e o domínio da sua derivada .
A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A presença de
indica que a função não está definida em . - A derivada deve ser obtida a partir da definição por limites (não usar apenas regras prontas).
Passo 2
Lembrando a definição da derivada em um ponto (usada aqui para obter a expressão geral): para cada
em que a função estiver definida, a derivada
é
desde que esse limite exista. Isso quer dizer: pega-se o incremento de
quando a variável muda de
para
, divide-se pelo incremento
e observa-se o que acontece quando
tende a zero. Se o limite existir, esse é o valor da derivada no ponto
. Note que para aplicar essa fórmula precisamos que
e
estejam definidos para valores de
próximos de zero — por isso pontos onde
não é definida (como
) não são candidatos à derivada.
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao
dado. Primeiro calcule
:
Agora formamos a diferença
:
Os termos
se cancelam, restando
Passo 4
Coloca-se isso sobre
e simplifica a fração (fazendo a soma com denominador comum):
Agora simplifica o fator
(desde que
, o que é compatível ao fazermos o limite
):
Passo 5
Tomamos o limite quando
. Como a expressão obtida já cancelou o
, dá para substituir
diretamente (desde que
, para evitar divisão por zero):
válido para todo
tal que
. Observação importante: não existe derivada em
porque a própria função
não está definida em
, logo não faz sentido calcular a derivada aí.
Passo 6
Resumo interpretativo e verificação rápida: a parte
é constante, então não contribui para a derivada; a derivada de
pela definição deu
. O cálculo pela definição confirmou o resultado que normalmente se obtém pela regra da potência (já que
e
).
Resposta
Domínio de
Domínio de