Derive implicitamente:
y=\cos (x-y)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y=\cos(x-y)
e pede para “derivar implicitamente”, ou seja, encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} considerando y como função de x. Informações relevantes:
  • A igualdade relaciona x e y(x).
  • Queremos \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
  • Não há outros dados numéricos; a resposta será uma expressão algébrica envolvendo \sin(x-y) e possivelmente y' (abreviação de \dfrac{dy}{dx}).

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Lembrete da regra que vamos usar (cadeia + diferencial de soma):
  • Se u(x)=\cos(v(x)), então
\frac{du}{dx} = -\sin\big(v(x)\big)\cdot v'(x),
onde v'(x)=\dfrac{dv}{dx}. Aqui v(x)=x-y(x).
Aplicando a derivação em ambos os lados:
\frac{d}{dx}\big(y\big)=\frac{d}{dx}\big(\cos(x-y)\big).

Passo 3

Derivando o lado esquerdo e o direito separadamente:
  • O lado esquerdo é y, função de x, logo
\frac{d}{dx}\big(y\big)=\frac{dy}{dx}.
  • O lado direito usa a regra da cadeia com v(x)=x-y(x). Primeiro, a derivada externa de \cos é -\sin. Depois multiplicamos pela derivada de v(x). A derivada de v(x)=x-y(x) é
\frac{d}{dx}\big(x-y(x)\big)=1-\frac{dy}{dx}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(\cos(x-y)\big) = -\sin(x-y)\cdot\left(1-\frac{dy}{dx}\right).

Passo 4

Igualando as duas derivadas obtemos a equação para \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\sin(x-y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right).
Agora vamos isolar \dfrac{dy}{dx}. Primeiro, distribui o fator à direita:
\frac{dy}{dx} = -\sin(x-y) + \sin(x-y)\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Reúna os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\frac{dy}{dx} - \sin(x-y)\cdot\frac{dy}{dx} = -\sin(x-y).
Fatore \dfrac{dy}{dx}:
\left(1-\sin(x-y)\right)\frac{dy}{dx} = -\sin(x-y).
Assumindo que 1-\sin(x-y)\neq 0 (caso em que a derivada seria indefinida ou precisa de tratamento especial), dividimos ambos os lados por 1-\sin(x-y):
\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x-y)}{1-\sin(x-y)}.

Passo 6

Podemos reescrever a fração multiplicando numerador e denominador por -1 para uma forma alternativa e talvez mais compacta:
\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x-y)}{\sin(x-y)-1}.
Comentário final rápido: essa é a expressão geral para \dfrac{dy}{dx} válida sempre que \sin(x-y)\neq 1. Se \sin(x-y)=1 (ou seja, x-y=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi), a etapa de divisão falha e é preciso analisar a equação original para ver se existe derivada naquele ponto.

Resposta

\dfrac{\sin(x-y)}{\sin(x-y)-1}

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