Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para “derivar implicitamente”, ou seja, encontrar a derivada
considerando
como função de
. Informações relevantes:
- A igualdade relaciona
e . - Queremos
em termos de e . - Não há outros dados numéricos; a resposta será uma expressão algébrica envolvendo
e possivelmente (abreviação de ).
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Lembrete da regra que vamos usar (cadeia + diferencial de soma):
- Se
, então
onde
. Aqui
.
Aplicando a derivação em ambos os lados:
Passo 3
Derivando o lado esquerdo e o direito separadamente:
- O lado esquerdo é
, função de , logo
- O lado direito usa a regra da cadeia com
. Primeiro, a derivada externa de é . Depois multiplicamos pela derivada de . A derivada de é
Portanto
Passo 4
Igualando as duas derivadas obtemos a equação para
:
Agora vamos isolar
. Primeiro, distribui o fator à direita:
Passo 5
Reúna os termos que contêm
no lado esquerdo:
Fatore
:
Assumindo que
(caso em que a derivada seria indefinida ou precisa de tratamento especial), dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Podemos reescrever a fração multiplicando numerador e denominador por
para uma forma alternativa e talvez mais compacta:
Comentário final rápido: essa é a expressão geral para
válida sempre que
. Se
(ou seja,
), a etapa de divisão falha e é preciso analisar a equação original para ver se existe derivada naquele ponto.