Derive implicitamente:
4 x y+\ln \left(x^{2} y\right)=7

Passo 1

O enunciado dá a equação
4 x y+\ln\left(x^{2}y\right)=7,
e pede para encontrar a derivada de y em relação a x assumindo que y depende de x (ou seja, calcular \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita). As informações relevantes são:
  • A equação relaciona x e y.
  • y é função de x (escreveremos y'= \dfrac{dy}{dx}).
  • O objetivo é isolar y' em função de x e y.

Passo 2

Vamos lembrar e aplicar duas regras de diferenciação que usaremos aqui.
Regra do produto (explicada de forma simples): se u(x) e v(x) são funções de x, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
No nosso caso aparecerá ao derivar x\cdot y(x) e também ao derivar x^{2}\cdot y(x).
Regra da cadeia para logaritmo: se g(x)=\ln(u(x)) então
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=x^{2}y(x), portanto precisamos calcular u'(x) aplicando a regra do produto.
Também adotamos a notação y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Derivamos ambos os lados da equação em relação a x. A derivada do lado direito 7 é 0. Assim:
\frac{d}{dx}\big(4xy\big)+\frac{d}{dx}\Big(\ln\big(x^{2}y\big)\Big)=0.

Passo 4

Derivando o primeiro termo 4xy. Usamos que 4 é constante e a regra do produto para x\cdot y(x):
\frac{d}{dx}\big(4xy\big)=4\frac{d}{dx}\big(xy\big)=4\big(1\cdot y + x\cdot y'\big)=4y+4x y'.

Passo 5

Derivando o segundo termo \ln\big(x^{2}y\big). Primeiro aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\big(x^{2}y\big)=\frac{(x^{2}y)'}{x^{2}y}.
Agora calculamos (x^{2}y)' usando produto entre x^{2} e y(x):
(x^{2}y)'=(x^{2})'y + x^{2}y' = 2x\,y + x^{2}y'.
Portanto
\frac{d}{dx}\ln\big(x^{2}y\big)=\frac{2x\,y + x^{2}y'}{x^{2}y}.

Passo 6

Simplificamos a fração obtida:
\frac{2x\,y + x^{2}y'}{x^{2}y}=\frac{2x\,y}{x^{2}y}+\frac{x^{2}y'}{x^{2}y}=\frac{2}{x}+\frac{y'}{y}.

Passo 7

Agora voltamos para a equação da Passo 3 e substituímos as derivadas encontradas:
(4y+4x y')+\left(\frac{2}{x}+\frac{y'}{y}\right)=0.
Agrupamos os termos com y' de um lado e os demais do outro:
4x y' + \frac{y'}{y} + 4y + \frac{2}{x}=0.
Colocando os y' juntos:
\left(4x+\frac{1}{y}\right)y' + \left(4y+\frac{2}{x}\right)=0.

Passo 8

Isolamos y':
\left(4x+\frac{1}{y}\right)y' = -\left(4y+\frac{2}{x}\right).
Logo
y' = -\frac{4y+\dfrac{2}{x}}{4x+\dfrac{1}{y}}.

Passo 9

Podemos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por x y para eliminar as frações internas. Multiplicando ambos por x y:
  • Numerador: \big(4y+\dfrac{2}{x}\big)\cdot x y = 4x y^{2}+2y.
  • Denominador: \big(4x+\dfrac{1}{y}\big)\cdot x y = 4x^{2}y + x.
Portanto uma forma mais limpa é
y' = -\frac{4x y^{2}+2y}{4x^{2}y + x}.
Fatorando termos comuns:
y' = -\frac{2y(2xy+1)}{x(4xy+1)}.

Resposta

y' = -\dfrac{2y(2xy+1)}{x(4xy+1)}

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