Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar a derivada de
em relação a
assumindo que
depende de
(ou seja, calcular
por diferenciação implícita). As informações relevantes são:
- A equação relaciona
e . -
é função de (escreveremos ). - O objetivo é isolar
em função de e .
Passo 2
Vamos lembrar e aplicar duas regras de diferenciação que usaremos aqui.
Regra do produto (explicada de forma simples): se
e
são funções de
, então
No nosso caso aparecerá ao derivar
e também ao derivar
.
Regra da cadeia para logaritmo: se
então
Aqui
, portanto precisamos calcular
aplicando a regra do produto.
Também adotamos a notação
.
Passo 3
Derivamos ambos os lados da equação em relação a
. A derivada do lado direito
é
. Assim:
Passo 4
Derivando o primeiro termo
. Usamos que
é constante e a regra do produto para
:
Passo 5
Derivando o segundo termo
. Primeiro aplicamos a regra da cadeia:
Agora calculamos
usando produto entre
e
:
Portanto
Passo 6
Simplificamos a fração obtida:
Passo 7
Agora voltamos para a equação da Passo 3 e substituímos as derivadas encontradas:
Agrupamos os termos com
de um lado e os demais do outro:
Colocando os
juntos:
Passo 8
Isolamos
:
Logo
Passo 9
Podemos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por
para eliminar as frações internas. Multiplicando ambos por
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto uma forma mais limpa é
Fatorando termos comuns: