Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
f(x)=\sqrt{x}, em a=4.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt{x} no ponto a=4 usando a definição clássica de derivada. Vamos lembrar que a definição é
f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui o conteúdo é limite de diferença quociente e precisaremos de uma técnica de racionalização para lidar com a raiz.

Passo 2

Aplicando a definição ao nosso caso:
f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h}-2}{h}.

Passo 3

Para eliminar a raiz no numerador, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \sqrt{4+h}+2:
\frac{\sqrt{4+h}-2}{h} \cdot \frac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2} = \frac{(\sqrt{4+h})^2 - 2^2}{h\bigl(\sqrt{4+h}+2\bigr)} = \frac{4+h - 4}{h\bigl(\sqrt{4+h}+2\bigr)} = \frac{h}{h\bigl(\sqrt{4+h}+2\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{4+h}+2}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando h \to 0:
f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.

Resposta

A derivada de f(x)=\sqrt{x} em a=4 é
f'(4)=\frac{1}{4}.

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