Determine a derivada:
y=\operatorname{arcsen}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \arcsin\bigl(e^{x}\bigr).
O conteúdo aqui é derivada de função composta: primeiro aplicamos a regra de derivação de \arcsin(u) e depois usamos a regra da cadeia para u=e^{x}.

Passo 2

Sabemos que, para u=u(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(u)\bigr) =\frac{u'}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 3

Aqui u(x)=e^{x}, então
u' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
Aplicando a fórmula do passo anterior,
\frac{dy}{dx} =\frac{e^{x}}{\sqrt{1 - \bigl(e^{x}\bigr)^{2}}} =\frac{e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2x}}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2x}}}.

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