Determine a derivada:
f(x)=e^{x}+\operatorname{arcsen}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{x}+\operatorname{arcsen}\bigl(x^{2}\bigr)
O conteúdo envolvido é a regra da soma de funções, a derivada de e^{x} e a derivada da função composta \operatorname{arcsen}(u) com u=x^{2}, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

A derivada de e^{x} é bem conhecida:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.

Passo 3

Para derivar \operatorname{arcsen}\bigl(x^{2}\bigr), usamos a regra da cadeia. Seja u=x^{2}. Então
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(u)\bigr) =\frac{du}{dx}\cdot\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsen}(u)\bigr).
Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsen}(u)\bigr) =\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}
e
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(x^{2})\bigr) =2x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}} =\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 4

Pela regra da soma, somamos as derivadas encontradas:
f'(x)=e^{x}+\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Resposta

f'(x)=e^{x}+\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

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