Use a definição e determine a integral de linha
se a curva C for a hélice circular definida pelas equações paramétricas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
dada pela hélice paramétrica
Informações relevantes fornecidas:
- A forma diferencial a integrar é
. - A curva
está parametrizada por com , , . - Não há imagens adicionais.
Passo 2
Definição que vamos usar (sem pular etapas): se uma curva
tem parametrização
então a integral da forma
sobre
é
Explicando:
,
,
. Ou seja, substitui-se a parametrização e multiplicam-se pelos derivados temporais. Isso transforma a integral de linha numa integral comum em
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da integral:
Assim o integrando em função de
é
Substituindo valores:
Simplificando cada termo:
Portanto
Passo 5
Calcular as integrais term a term. Primeiro termo:
Usar a identidade
. Então
A primitiva de
é
, e sobre um período inteiro
a
a integral de
é zero. Logo o primeiro termo contribui com
.
Passo 6
Segundo termo:
Fazer substituição
. Então
, ou
. Assim
Avaliar de
a
:
Como
e
, o resultado é
. Portanto o segundo termo também contribui com
.
Passo 7
Terceiro termo:
A primitiva de
é
. Avaliando:
Passo 8
Somando as contribuições dos três termos (primeiro
, segundo
, terceiro
), obtemos o valor total da integral de linha: