Use a definição e determine a integral de linha \int 3 x d x+2 x y d y+z d z se a curva C for a hélice circular definida pelas equações paramétricas x=\cos (t), y=\operatorname{sen}(t) e z= t,(0 \leq t \leq 2 \pi).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_C 3x\,dx + 2xy\,dy + z\,dz
ao longo da curva C dada pela hélice paramétrica
x=\cos(t),\qquad y=\sin(t),\qquad z=t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A forma diferencial a integrar é 3x\,dx+2xy\,dy+z\,dz.
  • A curva C está parametrizada por t\in[0,2\pi] com x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, z(t)=t.
  • Não há imagens adicionais.

Passo 2

Definição que vamos usar (sem pular etapas): se uma curva C tem parametrização
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\qquad a\le t\le b,
então a integral da forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz sobre C é
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr)\,dt.
Explicando: dx=x'(t)\,dt, dy=y'(t)\,dt, dz=z'(t)\,dt. Ou seja, substitui-se a parametrização e multiplicam-se pelos derivados temporais. Isso transforma a integral de linha numa integral comum em t.

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t),y(t),z(t):
x(t)=\cos t\quad\Rightarrow\quad x'(t)=-\sin t,
y(t)=\sin t\quad\Rightarrow\quad y'(t)=\cos t,
z(t)=t\quad\Rightarrow\quad z'(t)=1.

Passo 4

Substituir x(t),y(t),z(t) e x'(t),y'(t),z'(t) na fórmula da integral:
P=3x,\qquad Q=2xy,\qquad R=z.
Assim o integrando em função de t é
3x(t)\,x'(t)+2x(t)y(t)\,y'(t)+z(t)\,z'(t).
Substituindo valores:
3\cos t\cdot(-\sin t) + 2(\cos t)(\sin t)\cdot(\cos t) + t\cdot 1.
Simplificando cada termo:
-3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t + t.
Portanto
\int_C 3x\,dx+2xy\,dy+z\,dz = \int_{0}^{2\pi}\bigl(-3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t + t\bigr)\,dt.

Passo 5

Calcular as integrais term a term. Primeiro termo:
-3\int_{0}^{2\pi}\cos t\sin t\,dt.
Usar a identidade \cos t\sin t = \tfrac{1}{2}\sin(2t). Então
-3\int_{0}^{2\pi}\cos t\sin t\,dt = -3\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\sin(2t)\,dt = -\tfrac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,dt.
A primitiva de \sin(2t) é -\tfrac{1}{2}\cos(2t), e sobre um período inteiro 0 a 2\pi a integral de \sin(2t) é zero. Logo o primeiro termo contribui com 0.

Passo 6

Segundo termo:
\int_{0}^{2\pi}2\cos^2 t\sin t\,dt.
Fazer substituição u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, ou \sin t\,dt=-du. Assim
\int 2\cos^2 t\sin t\,dt = \int 2u^2(-du) = -2\int u^2\,du = -\tfrac{2}{3}u^3 + C = -\tfrac{2}{3}\cos^3 t + C.
Avaliar de 0 a 2\pi:
\left[-\tfrac{2}{3}\cos^3 t\right]_{0}^{2\pi} = -\tfrac{2}{3}\bigl(\cos^3(2\pi)-\cos^3(0)\bigr).
Como \cos(0)=1 e \cos(2\pi)=1, o resultado é -\tfrac{2}{3}(1-1)=0. Portanto o segundo termo também contribui com 0.

Passo 7

Terceiro termo:
\int_{0}^{2\pi} t\,dt.
A primitiva de t é \tfrac{1}{2}t^2. Avaliando:
\left[\tfrac{1}{2}t^2\right]_{0}^{2\pi} = \tfrac{1}{2}(2\pi)^2 - 0 = \tfrac{1}{2}\cdot 4\pi^2 = 2\pi^2.

Passo 8

Somando as contribuições dos três termos (primeiro 0, segundo 0, terceiro 2\pi^2), obtemos o valor total da integral de linha:
2\pi^2.

Resposta

2\pi^{2}

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