Determine o rotacional e o divergente nos seguintes casos.
\mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\ln (2 y x+3 z) \mathbf{i}+\ln (\mathrm{xy}+3 \mathrm{z}) \mathbf{j}+\ln (\mathrm{xz}+2 \mathrm{y}) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\ln(2xy+3z)\,\mathbf{i}+\ln(xy+3z)\,\mathbf{j}+\ln(xz+2y)\,\mathbf{k}.
As perguntas são:
  • Determinar o rotacional (curl) de \mathbf{F}.
  • Determinar o divergente (div) de \mathbf{F}.
Informações fornecidas que vamos usar (tiradas diretamente do enunciado):
  • A componente F_1(x,y,z)=\ln(2xy+3z).
  • A componente F_2(x,y,z)=\ln(xy+3z).
  • A componente F_3(x,y,z)=\ln(xz+2y).
Observação sobre domínio (útil ao final): as expressões \ln(2xy+3z), \ln(xy+3z) e \ln(xz+2y) só estão definidas quando os argumentos são positivos; portanto os pontos onde calculemos derivadas devem estar no domínio onde cada argumento é >0.

Passo 2

Lembrando as fórmulas (aula rápida e clara):
  • O divergente de um campo \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é a soma das derivadas parciais das componentes:
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Cada termo é a derivada parcial de uma função escalar em relação à variável indicada.
  • O rotacional (curl) de \mathbf{F} é o vetor
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}= \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\\[4pt] \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\\[4pt] \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \end{pmatrix}.
Explicando a regra que vamos usar: para derivar \ln(u(x,y,z)) em relação a uma variável (ex.: x), aplica-se a cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\dfrac{1}{u}\dfrac{\partial u}{\partial x}. Isso é fundamental aqui porque todas as componentes são logaritmos compostos.]

Passo 3

Calculando as derivadas parciais necessárias para o divergente (aplicando a regra da cadeia):
  • Para F_1=\ln(2xy+3z):
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{1}{2xy+3z}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2xy+3z) =\frac{1}{2xy+3z}\cdot(2y) =\frac{2y}{2xy+3z}.
  • Para F_2=\ln(xy+3z):
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{1}{xy+3z}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy+3z) =\frac{1}{xy+3z}\cdot x =\frac{x}{xy+3z}.
  • Para F_3=\ln(xz+2y):
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{1}{xz+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xz+2y) =\frac{1}{xz+2y}\cdot x =\frac{x}{xz+2y}.
Agora somamos para obter o divergente:
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{2y}{2xy+3z}+\frac{x}{xy+3z}+\frac{x}{xz+2y}.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas necessárias para o rotacional, componente a componente, sempre usando a regra da cadeia:
  • Componente x do rotacional:
(\operatorname{curl}\mathbf{F})_x=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}.
Calculamos cada parcial:
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{1}{xz+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xz+2y)=\frac{2}{xz+2y},
\frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{1}{xy+3z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xy+3z)=\frac{3}{xy+3z}.
Logo
(\operatorname{curl}\mathbf{F})_x=\frac{2}{xz+2y}-\frac{3}{xy+3z}.
  • Componente y do rotacional:
(\operatorname{curl}\mathbf{F})_y=\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}.
Calculamos:
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{1}{2xy+3z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(2xy+3z)=\frac{3}{2xy+3z},
\frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{1}{xz+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xz+2y)=\frac{z}{xz+2y}.
Portanto
(\operatorname{curl}\mathbf{F})_y=\frac{3}{2xy+3z}-\frac{z}{xz+2y}.
  • Componente z do rotacional:
(\operatorname{curl}\mathbf{F})_z=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.
Calculamos:
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{1}{xy+3z}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy+3z)=\frac{y}{xy+3z},
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{1}{2xy+3z}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2xy+3z)=\frac{2x}{2xy+3z}.
Assim
(\operatorname{curl}\mathbf{F})_z=\frac{y}{xy+3z}-\frac{2x}{2xy+3z}.

Passo 5

Reunindo as componentes do rotacional em forma vetorial final e recapitulando o divergente:
  • Rotacional:
\operatorname{curl}\mathbf{F}= \left(\frac{2}{xz+2y}-\frac{3}{xy+3z}\right)\mathbf{i} +\left(\frac{3}{2xy+3z}-\frac{z}{xz+2y}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{y}{xy+3z}-\frac{2x}{2xy+3z}\right)\mathbf{k}.
  • Divergente:
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{2y}{2xy+3z}+\frac{x}{xy+3z}+\frac{x}{xz+2y}.
Breve comentário final (motivador): a conta do rotacional mostrou termos não nulos em geral, então esse campo não é, em geral, conservativo; e lembre-se de checar o domínio porque cada logaritmo exige argumento positivo.

Resposta

\operatorname{curl}\mathbf{F}= \left(\frac{2}{xz+2y}-\frac{3}{xy+3z}\right)\mathbf{i} +\left(\frac{3}{2xy+3z}-\frac{z}{xz+2y}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{y}{xy+3z}-\frac{2x}{2xy+3z}\right)\mathbf{k}
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{2y}{2xy+3z}+\frac{x}{xy+3z}+\frac{x}{xz+2y}

Exercícios relacionados