Determine o rotacional e o divergente nos seguintes casos. \mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\ln (2 y x+3 z) \mathbf{i}+\ln (\mathrm{xy}+3 \mathrm{z}) \mathbf{j}+\ln (\mathrm{xz}+2 \mathrm{y}) \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial
Informações fornecidas que vamos usar (tiradas diretamente do enunciado):
A componente F_1(x,y,z)=\ln(2xy+3z).
A componente F_2(x,y,z)=\ln(xy+3z).
A componente F_3(x,y,z)=\ln(xz+2y).
Observação sobre domínio (útil ao final): as expressões \ln(2xy+3z), \ln(xy+3z) e \ln(xz+2y) só estão definidas quando os argumentos são positivos; portanto os pontos onde calculemos derivadas devem estar no domínio onde cada argumento é >0.
Passo 2
Lembrando as fórmulas (aula rápida e clara):
O divergente de um campo \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é a soma das derivadas parciais das componentes:
Explicando a regra que vamos usar: para derivar \ln(u(x,y,z)) em relação a uma variável (ex.: x), aplica-se a cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\dfrac{1}{u}\dfrac{\partial u}{\partial x}. Isso é fundamental aqui porque todas as componentes são logaritmos compostos.]
Passo 3
Calculando as derivadas parciais necessárias para o divergente (aplicando a regra da cadeia):
Breve comentário final (motivador): a conta do rotacional mostrou termos não nulos em geral, então esse campo não é, em geral, conservativo; e lembre-se de checar o domínio porque cada logaritmo exige argumento positivo.