Determine o rotacional e o divergente nos seguintes casos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular o rotacional (isto é,
) de . - Calcular o divergente (isto é,
) de .
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
Vou denotar as componentes por
Observação: a expressão
exige cuidado com o domínio para que tudo seja real e diferenciável; vamos trabalhar no domínio onde as derivadas parciais fazem sentido (por exemplo
), e menciono detalhes sobre isso no final.
Passo 2
Lembrando as fórmulas (aula rápida):
- O divergente de
é
Cada termo é a derivada parcial da componente correspondente em relação à variável indicada.
- O rotacional (curl) de
é o vetor
Aqui cada entrada é combinação de derivadas parciais — não se assuste: é só aplicar as derivadas que já se aprende em cálculo.
Passo 3
Vou calcular as derivadas parciais de
.
É útil escrever . Usando a regra da potência para cada variável (as outras são tratadas como constantes):
É útil escrever
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Aviso didático: cada expressão tem uma raiz no denominador (por exemplo
no denominador de
), por isso evitamos pontos com alguma variável zero ao usar essas fórmulas.
Passo 4
Agora as derivadas parciais de
. Trate
como produto de potências; ao derivar em relação a uma variável, as demais são constantes.
- Derivada em relação a
:
(derive
para
e mantenha
como constantes)
- Derivada em relação a
:
(derivada de
é
)
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Derivadas parciais de
.
- Derivada em relação a
:
pois
não depende de
.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 6
Calcular o divergente usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas do Passo 3–5:
Substituindo:
Posso reescrever limpando sinais:
Passo 7
Calcular o rotacional usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas já obtidas.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto o rotacional é
Passo 8
Resumo final e observações práticas para a prova:
- Usei a regra da potência para obter derivadas de expressões como
e a regra do produto implicitamente escrevendo como . - Atenção ao domínio: as expressões com
implicam que é necessário escolher um domínio onde as raízes e as derivadas parciais sejam reais e finitas. Para evitar divisão por zero nas fórmulas de etc., é conveniente considerar durante a diferenciação. Se alguma variável for zero ou sinais diferentes forem permitidos, a análise de diferenciabilidade precisa ser feita caso a caso.
Força aí! Se quiser eu provo com um exemplo numérico (substituindo valores) para checar as fórmulas na prática, faço passo a passo.
Resposta
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(4y{3}z{3}+2x{3}yz,;\tfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{xy}{z}},;-3x{2}yz^{2}-\tfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{xz}{y}}\Big)\
\nabla\cdot\mathbf{F}=\tfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{yz}{x}}-x{3}z{2}+3y{4}z{2}
\nabla\cdot\mathbf{F}=\tfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{yz}{x}}-x{3}z{2}+3y{4}z{2}