Determine o rotacional e o divergente nos seguintes casos.
\mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\sqrt{x y z} \mathbf{i}-\mathrm{x}^{3} y \mathrm{z}^{2} \mathbf{j}+\mathrm{y}^{4} \mathrm{z}^{3} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular o rotacional (isto é, \nabla\times\mathbf{F}) de \mathbf{F}.
  • Calcular o divergente (isto é, \nabla\cdot\mathbf{F}) de \mathbf{F}.
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
\mathbf{F}(x,y,z)=\sqrt{xyz}\,\mathbf{i}-x^{3}yz^{2}\,\mathbf{j}+y^{4}z^{3}\,\mathbf{k}.
Vou denotar as componentes por
P(x,y,z)=\sqrt{xyz},\qquad Q(x,y,z)=-x^{3}yz^{2},\qquad R(x,y,z)=y^{4}z^{3}.
Observação: a expressão \sqrt{xyz} exige cuidado com o domínio para que tudo seja real e diferenciável; vamos trabalhar no domínio onde as derivadas parciais fazem sentido (por exemplo x>0,\;y>0,\;z>0), e menciono detalhes sobre isso no final.

Passo 2

Lembrando as fórmulas (aula rápida):
  • O divergente de \mathbf{F}=(P,Q,R) é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Cada termo é a derivada parcial da componente correspondente em relação à variável indicada.
  • O rotacional (curl) de \mathbf{F} é o vetor
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).
Aqui cada entrada é combinação de derivadas parciais — não se assuste: é só aplicar as derivadas que já se aprende em cálculo.

Passo 3

Vou calcular as derivadas parciais de P(x,y,z)=\sqrt{xyz}=(xyz)^{1/2}.
É útil escrever P=x^{1/2}y^{1/2}z^{1/2}. Usando a regra da potência para cada variável (as outras são tratadas como constantes):
  • Derivada em relação a x:
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}y^{1/2}z^{1/2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{yz}{x}}.
  • Derivada em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{2}x^{1/2}y^{-1/2}z^{1/2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xz}{y}}.
  • Derivada em relação a z:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{1}{2}x^{1/2}y^{1/2}z^{-1/2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xy}{z}}.
Aviso didático: cada expressão tem uma raiz no denominador (por exemplo \sqrt{x} no denominador de \partial P/\partial x), por isso evitamos pontos com alguma variável zero ao usar essas fórmulas.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de Q(x,y,z)=-x^{3}yz^{2}. Trate Q como produto de potências; ao derivar em relação a uma variável, as demais são constantes.
  • Derivada em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=-3x^{2}yz^{2}.
(derive x^{3} para 3x^{2} e mantenha -yz^{2} como constantes)
  • Derivada em relação a y:
\frac{\partial Q}{\partial y}=-x^{3}z^{2}.
(derivada de y é 1)
  • Derivada em relação a z:
\frac{\partial Q}{\partial z}=-x^{3}y\cdot 2z=-2x^{3}yz.

Passo 5

Derivadas parciais de R(x,y,z)=y^{4}z^{3}.
  • Derivada em relação a x:
\frac{\partial R}{\partial x}=0,
pois R não depende de x.
  • Derivada em relação a y:
\frac{\partial R}{\partial y}=4y^{3}z^{3}.
  • Derivada em relação a z:
\frac{\partial R}{\partial z}=3y^{4}z^{2}.

Passo 6

Calcular o divergente usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas do Passo 3–5:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Substituindo:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{yz}{x}}+(-x^{3}z^{2})+3y^{4}z^{2}.
Posso reescrever limpando sinais:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{yz}{x}}-x^{3}z^{2}+3y^{4}z^{2}.

Passo 7

Calcular o rotacional usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas já obtidas.
Primeira componente:
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=4y^{3}z^{3}-(-2x^{3}yz)=4y^{3}z^{3}+2x^{3}yz.
Segunda componente:
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xy}{z}}-0=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xy}{z}}.
Terceira componente:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-3x^{2}yz^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xz}{y}}.
Portanto o rotacional é
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(4y^{3}z^{3}+2x^{3}yz,\;\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xy}{z}},\;-3x^{2}yz^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xz}{y}}\Big).

Passo 8

Resumo final e observações práticas para a prova:
  • Usei a regra da potência para obter derivadas de expressões como x^{1/2} e a regra do produto implicitamente escrevendo P como x^{1/2}y^{1/2}z^{1/2}.
  • Atenção ao domínio: as expressões com \sqrt{\cdot} implicam que é necessário escolher um domínio onde as raízes e as derivadas parciais sejam reais e finitas. Para evitar divisão por zero nas fórmulas de \partial P/\partial x etc., é conveniente considerar x>0,\;y>0,\;z>0 durante a diferenciação. Se alguma variável for zero ou sinais diferentes forem permitidos, a análise de diferenciabilidade precisa ser feita caso a caso.
Força aí! Se quiser eu provo com um exemplo numérico (substituindo valores) para checar as fórmulas na prática, faço passo a passo.

Resposta

\nabla\times\mathbf{F}=\Big(4y{3}z{3}+2x{3}yz,;\tfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{xy}{z}},;-3x{2}yz^{2}-\tfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{xz}{y}}\Big)\
\nabla\cdot\mathbf{F}=\tfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{yz}{x}}-x{3}z{2}+3y{4}z{2}

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