Use a definição de funçāo exponencial dada anteriormente, e mostre que
e^{i x}=\cos x+i \operatorname{sen} x
e
e^{-i x}=\cos x-i \operatorname{sen} x .
Além disso, mostre que
\cos x=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}
e
\operatorname{sen} x=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as fórmulas de Euler e, em seguida, inverter essas expressões para obter \cos x e \operatorname{sen} x. Vamos usar como definição da função exponencial de variável complexa a série de Taylor centrada em zero:
e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!},
válida para todo z\in\mathbb{C}. A ideia é tomar z = i x e separar os termos de ordem par e ímpar.

Passo 2

Escrevendo a série para e^{i x} e usando i^{2k}=(-1)^k e i^{2k+1}=i\,(-1)^k, temos
e^{i x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i x)^n}{n!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i x)^{2k}}{(2k)!} +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i x)^{2k+1}}{(2k+1)!}
= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Reconhecemos ali as séries de \cos x e \operatorname{sen} x:
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}, \quad \operatorname{sen} x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 3

Com isso, concluímos diretamente a fórmula de Euler:
e^{i x} = \cos x + i\,\operatorname{sen} x.
Substituindo x por -x e usando que \cos(-x)=\cos x e \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x, obtemos
e^{-i x} = \cos x - i\,\operatorname{sen} x.

Passo 4

Agora somamos as duas fórmulas de Euler:
e^{i x} + e^{-i x} = (\cos x + i\,\operatorname{sen} x) + (\cos x - i\,\operatorname{sen} x) = 2\,\cos x,
logo
\cos x = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}.

Passo 5

Para a função seno, subtraímos as duas fórmulas:
e^{i x} - e^{-i x} = (\cos x + i\,\operatorname{sen} x) - (\cos x - i\,\operatorname{sen} x) = 2\,i\,\operatorname{sen} x,
portanto
\operatorname{sen} x = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2\,i}.

Resposta

e^{i x} = \cos x + i\,\operatorname{sen} x, \quad e^{-i x} = \cos x - i\,\operatorname{sen} x,
\cos x = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}, \quad \operatorname{sen} x = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2\,i}.

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