Use a definição de funçāo exponencial dada anteriormente, e mostre que
e
Além disso, mostre que
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as fórmulas de Euler e, em seguida, inverter essas expressões para obter
e
. Vamos usar como definição da função exponencial de variável complexa a série de Taylor centrada em zero:
válida para todo
. A ideia é tomar
e separar os termos de ordem par e ímpar.
Passo 2
Escrevendo a série para
e usando
e
, temos
Reconhecemos ali as séries de
e
:
Passo 3
Com isso, concluímos diretamente a fórmula de Euler:
Substituindo
por
e usando que
e
, obtemos
Passo 4
Agora somamos as duas fórmulas de Euler:
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Passo 5
Para a função seno, subtraímos as duas fórmulas:
portanto