Questão 1: Calcule os limites a seguir:
(10Pts) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-2 x^{2}+5 x-10}{x^{2}+2 x-8}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 10}{x^2 + 2x - 8}.
Como a substituição direta leva a uma forma indeterminada 0/0, vamos usar fatoração para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Substituindo x=2 no numerador temos
2^3 - 2\cdot2^2 + 5\cdot2 - 10 = 8 - 8 + 10 - 10 = 0
e no denominador
2^2 + 2\cdot2 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0.
Logo, de fato existe indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Fatoramos o denominador:
x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4).
Para fatorar o numerador, dividimos sinteticamente x^3 - 2x^2 + 5x - 10 por x - 2, obtendo
x^3 - 2x^2 + 5x - 10 = (x - 2)\,(x^2 + 5).

Passo 4

Cancelando o fator (x - 2), a função fica
f(x) = \frac{x^2 + 5}{x + 4} \quad\text{para }x \neq 2.
Agora substituímos x = 2:
f(2) = \frac{2^2 + 5}{2 + 4} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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