Use mudança para polar para calcular \iint \_D\left(x^{\wedge} 2-y^{\wedge} 2\right) d A, onde D=\left\{(x, y): x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2 \leq\right. 1, \mathrm{y} \geq 0\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dA,
onde D é a semidisco de raio 1 com y\ge0. Vamos usar coordenadas polares para simplificar o cálculo: essa técnica troca (x,y) por (r\cos\theta,r\sin\theta) e traz o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
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x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos2\theta,
e o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Os limites são 0\le r\le1 e 0\le\theta\le\pi. Assim
\iint_{D}(x^{2}-y^{2})\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1}r^{2}\cos2\theta\;(r\,dr)\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}r^{3}\cos2\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{4}.
Fica então
\iint_{D}(x^{2}-y^{2})\,dA =\int_{0}^{\pi}\tfrac{1}{4}\cos2\theta\,d\theta =\tfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\cos2\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi}\cos2\theta\,d\theta =\Bigl[\tfrac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]_{0}^{\pi} =\tfrac{1}{2}\bigl(\sin2\pi-\sin0\bigr) =0.

Passo 5

Multiplicando o resultado de ambas as integrais, obtemos
\tfrac{1}{4}\times0=0.

Resposta

0

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